대수삼각함수수능 기출기본 문제 (3점 중반)

삼각함수식의 최댓값

문제

삼각함수 f(θ)=3cos⁡2θ+2sin⁡θ−1f ( \theta ) = 3 \cos ^{2} \theta + 2 \sin \theta - 1의 최댓값은? ①52\displaystyle \frac{5}{2}②73\displaystyle \frac{7}{3}③94\displaystyle \frac{9}{4}④115\displaystyle \frac{11}{5}⑤137\displaystyle \frac{13}{7}

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②

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해설

준 식을 정리하면 f(θ)=3cos⁡2θ+2sin⁡θ−1f ( \theta ) = 3 \cos ^{2} \theta + 2 \sin \theta - 1 =3(1−sin⁡2θ)+2sin⁡θ−1= 3 ( 1 - \sin ^{2} \theta ) + 2 \sin \theta - 1 =−3sin⁡2θ+2sin⁡θ+2= - 3 \sin ^{2} \theta + 2 \sin \theta + 2 sin⁡θ=t(−1≤t≤1)\sin \theta = t ( - 1 \leq t \leq 1 )로 치환하면 f(t)=−3t2+2t+2f ( t ) = - 3 t ^{2} + 2 t + 2 =−3(t−13)2+73\displaystyle = - 3 \left( t - \frac{1}{3} \right) ^{2} + \frac{7}{3} 따라서, t=13\displaystyle t = \frac{1}{3}에서 최댓값 73\displaystyle \frac{7}{3}을 갖는다.

태그

#삼각함수의 최대와 최소#이차식 완성

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