삼각함수 미분과 tan

[출제의도] 삼각함수의 미분법과 삼각함수의 덧셈정리를 이용하여 주어진 tan 값을 구할 수 있는가? $f' ( x ) = \cos ( x + \alpha ) - 2 \sin ( x + \alpha )$이므로 $\displaystyle f' \left( \frac{\pi}{4} \right) \cos \left( \frac{\pi}{4} + \alpha \right) - 2 \sin \left( \frac{\pi}{4} + \alpha \right) = 0$ 즉, $\displaystyle \cos \left( \frac{\pi}{4} + \alpha \right) = 2 \sin \left( \frac{\pi}{4} + \alpha \right)$에서 $\displaystyle \tan \left( \frac{\pi}{4} + \alpha \right) = \frac{1}{2}$이므로 $\displaystyle \frac{\tan \frac{\pi}{4} + \tan \alpha}{1 - \tan \frac{\pi}{4} \tan \alpha} = \frac{1}{2} , \frac{1 + \tan \alpha}{1 - \tan \alpha} = \frac{1}{2}$ $2 ( 1 + \tan \alpha ) = 1 - \tan \alpha$ $\displaystyle \tan \alpha = - \frac{1}{3}$