미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

삼각함수 미분 극한

문제

실수 aa에 대하여 함수 f(x)=sin⁡x+cos⁡xf \left( x \right) = \sin x + \cos x가 lim⁡x→a{f(x)}2−{f(a)}2x−a=1\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow a} {\frac{\left\{ f \left( x \right) \right\} ^{2} - \left\{ f \left( a \right) \right\} ^{2}}{x - a}} = 1 을 만족시킬 때, cos⁡2a\cos ^{2} a의 값은? [4점] ①14\displaystyle \frac{1}{4}②38\displaystyle \frac{3}{8}③12\displaystyle \frac{1}{2}④58\displaystyle \frac{5}{8}⑤34\displaystyle \frac{3}{4}

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⑤

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해설

[출제의도] 삼각함수의 미분 이해하기 lim⁡x→a{f(x)}2−{f(a)}2x−a\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow a} {\frac{\left\{ f \left( x \right) \right\} ^{2} - \left\{ f \left( a \right) \right\} ^{2}}{x - a}} =lim⁡x→a{f(x)−f(a)}{f(x)+f(a)}x−a\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow a} {\frac{\left\{ f \left( x \right) - f \left( a \right) \right\} \left\{ f \left( x \right) + f \left( a \right) \right\}}{x - a}}=2f′(a)f(a)=1= 2 f' \left( a \right) f \left( a \right) = 1 f′(x)=cos⁡x−sin⁡xf' \left( x \right) = \cos x - \sin x이므로 2(cos⁡a−sin⁡a)(sin⁡a+cos⁡a)2 \left( \cos a - \sin a \right) \left( \sin a + \cos a \right)=2(cos⁡2a−sin⁡2a)= 2 \left( \cos ^{2} a - \sin ^{2} a \right)=4cos⁡2a−2=1= 4 \cos ^{2} a - 2 = 1 따라서 cos⁡2a=34\displaystyle \cos ^{2} a = \frac{3}{4}

태그

#삼각함수의 미분#미분계수

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