삼각함수 합성과 값

[출제의도] 삼각함수의 합성을 이용하여 주어진 식의 값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다. $\displaystyle \sqrt{3} \sin \theta + \cos \theta = 2 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \theta + \frac{1}{2} \cos \theta \right) = 2 \sin \left( \theta + \frac{\pi}{6} \right) = 1$ 이므로 $\displaystyle \sin \left( \theta + \frac{\pi}{6} \right) = \frac{1}{2}$이다. 따라서, $\displaystyle \theta + \frac{\pi}{6} = n \pi + ( - 1 ) ^{n} \frac{\pi}{6} \rightarrow \theta = n \pi + ( - 1 ) ^{n} \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{6}$ 이다. 그런데, $\displaystyle \frac{\pi}{2} < \theta < \pi$이므로 $n = 1$이고 $\displaystyle \theta = \frac{2 \pi}{3}$이다. $\displaystyle \therefore 2 \cos \theta \cos 2 \theta = 2 \cos \frac{2 \pi}{3} \cos \frac{4 \pi}{3} = 2 \times \left( - \frac{1}{2} \right) \times \left( - \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{2}$