미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출기본 문제 (3점 중반)

삼각함수 합성 최대최소

문제

닫힌 구간 [π6,56π]\displaystyle \left[ \frac{\pi}{6} , \frac{5}{6} \pi \right]에서 함수 f(x)=3sin⁡x+cos⁡x+1\displaystyle f ( x ) = \sqrt{3} \sin x + \cos x + 1 의 최댓값을 MM, 최솟값을 mm이라 할 때, M+mM + m의 값은? [3점] ①52\displaystyle \frac{5}{2}②33③72\displaystyle \frac{7}{2}④44⑤92\displaystyle \frac{9}{2}

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④

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해설

f(x)=3sin⁡x+cos⁡x+1=2sin⁡(x+π6)+1\displaystyle f ( x ) = \sqrt{3} \sin x + \cos x + 1 = 2 \sin ( x + \frac{\pi}{6} ) + 1 x+π6=t\displaystyle x + \frac{\pi}{6} = t라 하면 f(t)=2sin⁡t+1(π3≤t≤π)\displaystyle f ( t ) = 2 \sin t + 1 ( \frac{\pi}{3} \leq t \leq \pi )이므로 t=π2\displaystyle t = \frac{\pi}{2}에서 최대값 3, t=πt = \pi에서 최소값 1을 갖는다. ∴M+m=4\therefore M + m = 4

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#삼각함수의 합성#최대최소

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