대수삼각함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

삼각함수 합성 최대최소

문제

폐구간 [0,π][ 0 , \pi ]에서 함수 y=sin⁡x−sin⁡(x+π3)\displaystyle y = \sin x - \sin \left( x + \frac{\pi}{3} \right)의 최대값을 MM, 최소값을 mm이라 할 때, M−mM - m의 값은? [3점] ①−1+32\displaystyle \frac{- 1 + \sqrt{3}}{2}②2−32\displaystyle \frac{2 - \sqrt{3}}{2}③3−32\displaystyle \frac{3 - \sqrt{3}}{2}④1+32\displaystyle \frac{1 + \sqrt{3}}{2}⑤2+32\displaystyle \frac{2 + \sqrt{3}}{2}

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⑤

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해설

y=sin⁡x−(sin⁡xcos⁡π3+cos⁡xsin⁡π3)\displaystyle y = \sin x - \left( \sin x \cos \frac{\pi}{3} + \cos x \sin \frac{\pi}{3} \right) =sin⁡x−(12sin⁡x+32cos⁡x)\displaystyle = \sin x - \left( \frac{1}{2} \sin x + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x \right) =12sin⁡x−32cos⁡x\displaystyle = \frac{1}{2} \sin x - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x =sin⁡(x−π3)\displaystyle = \sin \left( x - \frac{\pi}{3} \right) x−π3=θ\displaystyle x - \frac{\pi}{3} = \theta라 하면 0≤x≤π0 \leq x \leq \pi이므로 −π3≤θ≤23π\displaystyle - \frac{\pi}{3} \leq \theta \leq \frac{2}{3} \pi이다. 따라서, 함수y=sin⁡θy = \sin \theta에서 θ=π2\displaystyle \theta = \frac{\pi}{2}일 때 yy의 최대값은 1이고, θ=−π3\displaystyle \theta = - \frac{\pi}{3}일 때 yy의 최소값은 −32\displaystyle - \frac{\sqrt{3}}{2}이다. ∴ M−m=1−(−32)=2+32\displaystyle M - m = 1 - \left( - \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = \frac{2 + \sqrt{3}}{2}

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#덧셈정리#삼각함수의 합성#최대최소

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