미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출기본 문제 (3점 중반)

삼각함수 합성

문제

sin⁡θ+cos⁡θ=23\displaystyle \sin \theta + \cos \theta = \frac{\sqrt{2}}{3}일 때, cos⁡2(θ+π4)\displaystyle \cos ^{2} \left( \theta + \frac{\pi}{4} \right)의 값은? [3점] ①49\displaystyle \frac{4}{9}②59\displaystyle \frac{5}{9}③23\displaystyle \frac{2}{3}④79\displaystyle \frac{7}{9}⑤89\displaystyle \frac{8}{9}

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⑤

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해설

[출제의도] 삼각함수의 덧셈정리 이해하기 sin⁡θ+cos⁡θ=23\displaystyle \sin \theta + \cos \theta = \frac{\sqrt{2}}{3}에서 2sin⁡(θ+π4)=23\displaystyle \sqrt{2} \mathrm{\sin} \left( \mathit{\theta} + \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\sqrt{2}}{3}이므로 sin⁡(θ+π4)=13\displaystyle \sin \left( \theta + \frac{\pi}{4} \right) = \frac{1}{3} 따라서 cos⁡2(θ+π4)=1−sin⁡2(θ+π4)=89\displaystyle \cos ^{2} \left( \theta + \frac{\pi}{4} \right) = 1 - \sin ^{2} \left( \theta + \frac{\pi}{4} \right) = \frac{8}{9}

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