미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출기본 문제 (3점 중반)

삼각함수 합성

문제

3sin⁡θ+cos⁡θ=12\displaystyle \sqrt{3} \sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{2}일 때, cos⁡(θ+π6)\displaystyle \cos \left( \theta + \frac{\pi}{6} \right)의 값은? (단, 0<θ<π0 < \theta < \pi) [3점] ①−58\displaystyle - \frac{\sqrt{5}}{8}②−158\displaystyle - \frac{\sqrt{15}}{8}③−12\displaystyle - \frac{1}{2}④−54\displaystyle - \frac{\sqrt{5}}{4}⑤−154\displaystyle - \frac{\sqrt{15}}{4}

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⑤

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해설

3sin⁡θ+cos⁡θ=2sin⁡(θ+π6)\displaystyle \sqrt{3} \mathrm{\sin} \theta + \cos \theta = 2 \sin \left( \theta + \frac{\pi}{6} \right) ∴sin⁡(θ+π6)=14\displaystyle \therefore \sin \left( \theta + \frac{\pi}{6} \right) = \frac{1}{4} π6<θ+π6<76π\displaystyle \frac{\pi}{6} < \theta + \frac{\pi}{6} < \frac{7}{6} \pi 이므로, cos⁡(θ+π6)=±1−sin⁡2(θ+π6)=±154\displaystyle \cos \left( \theta + \frac{\pi}{6} \right) = \pm \sqrt{1 - \sin ^{2} ( \theta + \frac{\pi}{6} )} = \pm \frac{\sqrt{15}}{4}

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