대수삼각함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

삼각함수 관계

문제

π2<θ<π\displaystyle \frac{\pi}{2} < \theta < \pi인 θ\theta에 대하여 sin⁡4θ+cos⁡4θ=2332\displaystyle \sin ^{4} \theta + \cos ^{4} \theta = \frac{23}{32}일 때, sin⁡θ−cos⁡θ\sin \theta - \cos \theta의 값은? [4점] ①22\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}②11③52\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{2}④62\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{2}⑤72\displaystyle \frac{\sqrt{7}}{2}

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⑤

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해설

[출제의도] 삼각함수를 활용하여 문제해결하기 sin⁡4θ+cos⁡4θ\sin ^{4} \theta + \cos ^{4} \theta =(sin⁡2θ+cos⁡2θ)2−2sin⁡2θcos⁡2θ= \left( \sin ^{2} \theta + \cos ^{2} \theta \right) ^{2} - 2 \sin ^{2} \theta {\cos ^{2} \theta} =1−2sin⁡2θcos⁡2θ= 1 - 2 \sin ^{2} \theta {\cos ^{2} \theta} =2332\displaystyle = \frac{23}{32} 에서 sin⁡2θcos⁡2θ=964\displaystyle \sin ^{2} \theta {\cos ^{2} \theta} = \frac{9}{64} π2<θ<π\displaystyle \frac{\pi}{2} < \theta < \pi에서 sin⁡θ>0\sin \theta > 0, cos⁡θ<0\cos \theta < 0이므로 sin⁡θcos⁡θ=−38\displaystyle \sin \theta {\cos \theta} = - \frac{3}{8} (sin⁡θ−cos⁡θ)2=1−2sin⁡θcos⁡θ=74\displaystyle \left( \sin \theta - \cos \theta \right) ^{2} = 1 - 2 \sin \theta {\cos \theta} = \frac{7}{4} 따라서 sin⁡θ−cos⁡θ=72\displaystyle \sin \theta - \cos \theta = \frac{\sqrt{7}}{2}

태그

#삼각함수 사이의 관계

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