삼각함수 그래프의 자연수 좌표점 개수

(ⅰ) $n = 1$일 때, $1$개

(ⅱ) $n = 2$일 때, $3$개

(ⅲ) $n = 3$일 때, $10$개

$\vdots$ 계속하여 규칙을 구하면 $n = 1$일 때, $1$개 $n = 2$일 때, $1 + 2 = 3$개 $n = 3$일 때, $2 + 4 + 4 = 10$개 $n = 4$일 때, $2 + 4 + 4 + 4 = 14$개 $n = 5$일 때, $3 + 6 + 6 + 6 + 6 = 3 + ( 6 \times 4 ) = 27$개 $n = 6$일 때, $3 + ( 6 \times 5 ) = 33$개 $n = 7$일 때, $4 + ( 8 \times 6 ) = 52$개 $n = 8$일 때, $4 + ( 8 \times 7 ) = 60$개 $n = 9$일 때, $5 + ( 10 \times 8 ) = 85$개 $n = 10$일 때, $5 + ( 10 \times 9 ) = 95$개 $\vdots$ $y = n \sin ( n \pi x ) ( 0 \leq x \leq 1 )$위의 점 중 $y$좌표가 자연수인 점의 개수를 $a _{n}$이라 하면 $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{10} a _{k}$$= 1 + 3 + 10 + 14 + 27 + 33 + 52 + 60 + 85 + 95$ $= 380$