미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출기본 문제 (3점 중반)

삼각함수 극한

문제

함수 f(x)f \left( x \right)에 대하여 lim⁡x→0f(x)(1−cos⁡x2)=1\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0} {f \left( x \right) \left( 1 - \cos \frac{x}{2} \right) = 1}일 때, lim⁡x→0x2f(x)\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0} {x ^{2} f \left( x \right)}의 값을 구하시오. [3점]

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8

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해설

[출제의도] 삼각함수의 극한 이해하기 lim⁡x→0x2f(x)=lim⁡x→0{f(x)(1−cos⁡x2)×x21−cos⁡x2}\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0} {{} _{{} _{{} _{{} _{{} _{}}}}}} x ^{2} f \left( x \right) = \lim\limits _{x \rightarrow 0} {\left\{ f \left( x \right) \left( 1 - \cos \frac{x}{2} \right) \times \frac{x ^{2}}{1 - \cos \frac{x}{2}} \right\}} =lim⁡x→0{f(x)(1−cos⁡x2)×x2(1+cos⁡x2)(1−cos⁡x2)(1+cos⁡x2)}\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 0} {\left\{ f \left( x \right) \left( 1 - \cos \frac{x}{2} \right) \times \frac{x ^{2} \left( 1 + \cos \frac{x}{2} \right)}{\left( 1 - \cos \frac{x}{2} \right) \left( 1 + \cos \frac{x}{2} \right)} \right\}} =lim⁡x→0{f(x)(1−cos⁡x2)×x24sin⁡2x2×4×(1+cos⁡x2)}\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 0} {\left\{ f \left( x \right) \left( 1 - \cos \frac{x}{2} \right) \times \frac{\frac{x ^{2}}{4}}{\sin ^{2} \frac{x}{2}} \times 4 \times \left( 1 + \cos \frac{x}{2} \right) \right\}} =1×1×4×2=8= 1 \times 1 \times 4 \times 2 = 8

태그

#삼각함수의 극한#극한의 성질

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