삼각함수 최대 위치

$f ( x )$$\displaystyle = 2 \sin \left( x + \frac{\pi}{3} \right) + \sqrt{3} \cos x$ $\displaystyle = 2 \left( \sin x \cos \frac{\pi}{3} + \cos x \sin \frac{\pi}{3} \right) + \sqrt{3} \cos x$ $\displaystyle = \sin x + 2 \sqrt{3} \cos x$ $\displaystyle = \sqrt{13} \sin ( x + \alpha )$ (단, $\displaystyle \tan \alpha = 2 \sqrt{3}$) $\alpha$를 예각으로 놓아도 문제의 일반성을 잃지 않는다. 이때, 함수 $f ( x )$는 $0 \leq x \leq \pi$에서 $\displaystyle x + \alpha = \frac{\pi}{2}$일 때, 최댓값 $\displaystyle \sqrt{13}$을 갖는다.

∴ $\displaystyle \theta = \frac{\pi}{2} - \alpha$ ∴ $\displaystyle \tan \theta = \tan \left( \frac{\pi}{2} - \alpha \right)$$= \cos \alpha$$\displaystyle = \frac{1}{2 \sqrt{3}}$$\displaystyle = \frac{\sqrt{3}}{6}$ [다른 풀이] 좌표평면에서 $\mathrm{A}$$\displaystyle ( 2 \sqrt{3} , 1 )$, $\mathrm{P}$$( \cos x , \sin x )$라 할 때, $\displaystyle \sin x + 2 \sqrt{3} \cos x$는 $\mathrm{\vec{OA}} \cdot \vec{OP}$와 같다. $0 \leq x \leq \pi$에서 점 $\mathrm{P}$는 그림과 같이 반원 $a ^{2} + b ^{2} = 1$($b \geq 0$) 위에 있으므로 세 점 $\mathrm{O}$, $\mathrm{A}$, $\mathrm{P}$가 일직선상에 있을 때, $\mathrm{\vec{OA}} \cdot \vec{OP}$는 최대가 된다.

따라서 $\theta$는 선분 $\mathrm{OA}$가 $a$축과 이루는 예각과 같다. ∴ $\tan \theta$$\displaystyle = \frac{1}{2 \sqrt{3}}$$\displaystyle = \frac{\sqrt{3}}{6}$