삼각함수 부등식을 만족하는 자연수의 합

함수 $\displaystyle f \left( x \right) = \sin \frac{\pi}{4} x$의 주기가 $\displaystyle 2 \pi \div \frac{\pi}{4} = 8$이므로 정수 $n$에 대하여 함숫값 $f \left( n \right)$은 다음의 $8$개의 값이 차례로 반복된다.

$g ( x ) = f \left( 2 + x \right) f \left( 2 - x \right)$라 하면 함수 $f$의 주기가 $8$이므로 함수 $g$의 주기도 $8$이다. $\displaystyle g ( 1 ) = f \left( 3 \right) f \left( 1 \right) = \frac{1}{2}$ $g ( 2 ) = f \left( 4 \right) f \left( 0 \right) = 0$ $\displaystyle g ( 3 ) = f \left( 5 \right) f \left( - 1 \right) = f \left( 5 \right) f \left( 7 \right) = \frac{1}{2}$ $g ( 4 ) = f \left( 6 \right) f \left( - 2 \right) = f \left( 6 \right) f \left( 6 \right) = 1$ $\displaystyle g ( 5 ) = f \left( 7 \right) f \left( - 3 \right) = f \left( 7 \right) f \left( 5 \right) = \frac{1}{2}$ $g ( 6 ) = f \left( 8 \right) f \left( - 4 \right) = f \left( 0 \right) f \left( 4 \right) = 0$ $\displaystyle g ( 7 ) = f \left( 9 \right) f \left( - 5 \right) = f \left( 1 \right) f \left( 3 \right) = \frac{1}{2}$ $g ( 8 ) = f \left( 10 \right) f \left( - 6 \right) = f \left( 2 \right) f \left( 2 \right) = 1$ 이므로 $x = 1$, $2$, $\cdots$, $15$인 자연수 $x$에 대하여 $\displaystyle g ( x ) = f \left( 2 + x \right) f \left( 2 - x \right) < \frac{1}{4}$ 인 자연수 $x$는 $2$, $6$, $10$, $14$이다. 따라서 그 합은 $2 + 6 + 10 + 14 = 32$