삼각기둥 정사영 넓이

[출제의도] 평면과 직선의 위치 관계를 이용하여 정사영의 넓이에 대한 문제를 해결한다. 그림은 정삼각기둥 $\mathrm{ABC} - DEF$를 좌표공간에 나타낸 것이다.

두 점 $\mathrm{C}$, $\mathrm{H}$의 평면 $\mathrm{ADEB}$ 위로의 정사영을 각각 $\mathrm{C} _{1}$, $\mathrm{H} _{1}$이라 하자. $\displaystyle {\overline{\mathrm{AC} _{1}}}$$= 2$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{AG}}}$$\displaystyle = 2 \sqrt{3}$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{GC} _{1}}}$$\displaystyle = 2 \sqrt{2 ^{2} + \left( 2 \sqrt{3} \right) ^{2}}$$= 4$, $\angle \mathrm{AGC} _{1}$$= \mathit{30} ^\circ$ 조건 (가)에서 삼각형 $\mathrm{GH} _{1} C _{1}$은 정삼각형이므로 $\angle \mathrm{C} _{1} GH _{1}$$= 60 ^\circ$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{GH} _{1}}}$$= 4$ 조건 (나)를 만족시키려면 점 $\mathrm{H} _{1}$은 점 $\mathrm{G}$에서 선분 $\mathrm{BE}$에 내린 수선의 발과 일치해야 한다. 점 $\mathrm{H}$의 평면 $\mathrm{DEF}$ 위로의 정사영을 $\mathrm{H} _{2}$라 하자. 조건 (나)에서 삼각형 $\mathrm{CGH}$의 평면 $\mathrm{DEF}$ 위로의 정사영인 삼각형 $\mathrm{FDH} _{2}$의 내부와 삼각형 $\mathrm{DEF}$의 내부의 공통부분의 넓이가 삼각형 $\mathrm{DEF}$의 넓이의 $\displaystyle \frac{1}{2}$인 $\displaystyle 2 \sqrt{3}$이므로 직선 $\mathrm{DH} _{2}$는 선분 $\mathrm{EF}$의 중점을 지난다. 그러므로 두 삼각형 $\mathrm{DEH} _{2}$, $\mathrm{DFH} _{2}$가 합동이고 $\angle \mathrm{DEH} _{2}$$= 90 ^\circ$이므로 $\angle \mathrm{DFH} _{2}$$= 90 ^\circ$이다. 점 $\mathrm{H}$의 평면 $\mathrm{ADFC}$ 위로의 정사영을 $\mathrm{H} _{3}$이라 하면 점 $\mathrm{H} _{3}$은 점 $\mathrm{G}$에서 선분 $\mathrm{CF}$에 내린 수선의 발과 일치한다. 그러므로 삼각형 $\mathrm{CGH}$의 평면 $\mathrm{ADFC}$ 위로의 정사영인 삼각형 $\mathrm{CGH} _{3}$의 넓이 $S$는 $S$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times 4 \times 2 \sqrt{3}$$\displaystyle = 4 \sqrt{3}$ 따라서 $S ^{2}$$= 48$