대수삼각함수수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

삼각방정식의 실근의 개수

문제

0<θ<π0 < \theta < \pi일 때, sin⁡3θ=cos⁡5θ\sin 3 \theta = \cos 5 \theta를 만족하는 θ\theta의 개수는? ①55②66③77④88⑤99

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①

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해설

sin⁡3θ=cos⁡(π2−3θ)\displaystyle \sin 3 \theta = \cos \left( \frac{\pi}{2} - 3 \theta \right)이므로 준 식은 cos⁡(π2−3θ)=cos⁡5θ⋯ \displaystyle \cos \left( \frac{\pi}{2} - 3 \theta ) = \cos 5 \theta \cdots \right.(1) 코사인 그래프 개형을 이용하면 π2−3θ=2nπ±5θ\displaystyle \frac{\pi}{2} - 3 \theta = 2 n \pi \pm 5 \theta인 경우에 식 (1)이 성립한다. 1) π2−3θ=2nπ+5θ\displaystyle \frac{\pi}{2} - 3 \theta = 2 n \pi + 5 \theta인 경우 : 8θ=π2−2nπ\displaystyle 8 \theta = \frac{\pi}{2} - 2 n \pi이므로 θ=π16−14nπ\displaystyle \theta = \frac{\pi}{16} - \frac{1}{4} n \pi 0<θ<π0 < \theta < \pi이므로 가능한 정수 nn값은 0,−1,−2,−30 , - 1 , - 2 , - 3이다. 2) π2−3θ=2nπ−5θ\displaystyle \frac{\pi}{2} - 3 \theta = 2 n \pi - 5 \theta : 식을 정리하면 θ=nπ−π4\displaystyle \theta = n \pi - \frac{\pi}{4}이므로 n=1n = 1일 때 가능하다. 따라서, 삼각방정식의 실근의 개수는 55개다.

태그

#삼각방정식#코사인 그래프

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