삼각방정식 해의 개수

$\displaystyle \frac{1}{4} k = - \frac{1}{4} k ^{2} + \frac{3}{4} k$에서 $k \left( k - 2 \right) = 0$ $k = 0$ 또는 $k = 2$ (ⅰ) $k = 0$ 또는 $k = 2$일 때 방정식 $\displaystyle \left( \sin x - \frac{1}{4} k \right) \left( \sin x + \frac{1}{4} k ^{2} - \frac{3}{4} k \right) = 0$의 서로 다른 해의 개수는 방정식 $\displaystyle \sin x = \frac{1}{4} k$의 서로 다른 해의 개수와 같다. 방정식 $\displaystyle \sin x = \frac{1}{4} k$의 서로 다른 해의 개수는 $k = 0$일 때 $\mathrm{3}$이고 $k = 2$일 때 $\mathrm{2}$이다. 그러므로 방정식 $\displaystyle \left( \sin x - \frac{1}{4} k \right) \left( \sin x + \frac{1}{4} k ^{2} - \frac{3}{4} k \right) = 0$의 서로 다른 해의 개수가 $\mathrm{2}$가 되도록 하는 $k$의 값은 $\mathrm{2}$이다. (ⅱ) $k \neq 0$이고 $k \neq 2$일 때 방정식 $\displaystyle \left( \sin x - \frac{1}{4} k \right) \left( \sin x + \frac{1}{4} k ^{2} - \frac{3}{4} k \right) = 0$의 서로 다른 해의 개수는 방정식 $\displaystyle \sin x = \frac{1}{4} k$의 서로 다른 해의 개수와 방정식 $\displaystyle \sin x = - \frac{1}{4} k ^{2} + \frac{3}{4} k$의 서로 다른 해의 개수의 합과 같다. (a) 방정식 $\displaystyle \sin x = \frac{1}{4} k$의 서로 다른 해의 개수가 $\mathrm{0}$일 때 $\left| k \right| > 4$이고, $\left| k \right| > 4$일 때 방정식 $\displaystyle \sin x = - \frac{1}{4} k ^{2} + \frac{3}{4} k$의 서로 다른 해의 개수는 $\mathrm{0}$이다. 그러므로 방정식 $\displaystyle \left( \sin x - \frac{1}{4} k \right) \left( \sin x + \frac{1}{4} k ^{2} - \frac{3}{4} k \right) = 0$의 서로 다른 해의 개수는 $\mathrm{0}$이다. (b) 방정식 $\displaystyle \sin x = \frac{1}{4} k$의 서로 다른 해의 개수가 $\mathrm{1}$일 때 $\left| k \right| = 4$이므로 $k = 4$ 또는 $k = - 4$ 방정식 $\displaystyle \sin x = - \frac{1}{4} k ^{2} + \frac{3}{4} k$의 서로 다른 해의 개수는 $k = 4$일 때 $\mathrm{1}$이고 $k = - 4$일 때 $\mathrm{0}$이므로 방정식 $\displaystyle \left( \sin x - \frac{1}{4} k \right) \left( \sin x + \frac{1}{4} k ^{2} - \frac{3}{4} k \right) = 0$의 서로 다른 해의 개수가 $\mathrm{2}$가 되도록 하는 $k$의 값은 $\mathrm{4}$이다. (c) 방정식 $\displaystyle \sin x = \frac{1}{4} k$의 서로 다른 해의 개수가 $\mathrm{2}$일 때 $\left| k \right| < 4$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ 방정식 $\displaystyle \left( \sin x - \frac{1}{4} k \right) \left( \sin x + \frac{1}{4} k ^{2} - \frac{3}{4} k \right) = 0$의 서로 다른 해의 개수가 $\mathrm{2}$가 되기 위해서는 방정식 $\displaystyle \sin x = - \frac{1}{4} k ^{2} + \frac{3}{4} k$의 서로 다른 해의 개수가 $\mathrm{0}$이어야 하므로 $k < - 1$, $k > 4$ $\cdots$$\cdots$ ㉡ ㉠, ㉡을 동시에 만족시키는 정수 $k$는 $- 3$, $- 2$ (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 구하는 정수 $k$는 $- 3$, $- 2$, $2$, $4$이므로 모든 정수 $k$의 값의 곱은 $- 3 \times \left( - 2 \right) \times 2 \times 4 = 48$