대수삼각함수수능 기출기본 문제 (3점 중반)

삼각방정식 근의 합

문제

0<x<2π0 < x < 2 \pi일 때, 방정식 cos⁡2x−sin⁡x=1\cos ^{2} x - \sin x = 1의 모든 실근의 합은 qpπ\displaystyle \frac{q}{p} \pi이다. p+qp + q의 값을 구하시오. (단, pp, qq는 서로소인 자연수이다.) [3점]

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해설

[출제의도] 주어진 범위에서 삼각방정식의 근을 구할 수 있는가? cos⁡2x−sin⁡x=1\cos ^{2} x - \sin x = 1 1−sin⁡2x−sin⁡x=11 - \sin ^{2} x - \sin x = 1 sin⁡2x+sin⁡x=0\sin ^{2} x + \sin x = 0 sin⁡x(sin⁡x+1)=0\sin x ( \sin x + 1 ) = 0 sin⁡x=0\sin x = 0 또는 sin⁡x=−1\sin x = - 1 x=πx = \pi 또는 x=32π\displaystyle x = \frac{3}{2} \pi 따라서 모든 실근의 합은 52π\displaystyle \frac{5}{2} \pi p+q=2+5=7p + q = 2 + 5 = 7

태그

#삼각방정식

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