대수삼각함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

삼각방정식 근 행렬

문제

이차 정사각행렬 $A$ 의 $( i , j )$ 성분을 $x$ 에 대한 방정식 $\displaystyle \sin ( i + j ) x = \frac{1}{2}$ ( $0 \leq x \leq 2 \pi$ )의 실근의 개수로 정의할 때, 행렬 $A$ 의 모든 성분의 합을 구하시오. [4점]

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해설

[출제 의도] 삼각방정식의 해를 이용하여 행렬의 각 성분을 구할 수 있다. $0 \leq x \leq 2 \pi$ 에서 두 그래프 $y = \sin ( i + j ) x$ , $\displaystyle y = \frac{1}{2}$ 의 교점의 개수를 조사한다. (ⅰ) $i = 1$ , $j = 1$ : 교점 $4$ 개

(ⅱ) $i = 1$ , $j = 2$ : 교점 $6$ 개

(ⅲ) $i = 2$ , $j = 1$ : 교점 $6$ 개

(ⅳ) $i = 2$ , $j = 2$ : 교점 $8$ 개

∴ $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 4 & 6 \\ 6 & 8 \end{pmatrix}$ $$ 따라서, 행렬 $A$ 의 모든 성분의 합은 $24$ 이다.

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