삼각방정식 근 보기

[출제의도] 삼각함수의 그래프를 이해하고 이를 이용하여 삼각함수가 포함된 방정식의 근에 관련된 문제를 추론할 수 있는가? ㄱ. 방정식 $\displaystyle \left( \sin \frac{\pi x}{2} - t \right) \left( \cos \frac{\pi x}{2} - t \right) = 0$ 에서 $\displaystyle \sin \frac{\pi x}{2} = t$ 또는 $\displaystyle \cos \frac{\pi x}{2} = t$ 이 방정식의 실근은 두 함수 $\displaystyle y = \sin \frac{\pi x}{2} ,$ $\displaystyle y = \cos \frac{\pi x}{2}$의 그래프와 $y = t$와의 교점의 $x$좌표이다. 한편, 두 함수 $\displaystyle y = \sin \frac{\pi x}{2} ,$ $\displaystyle y = \cos \frac{\pi x}{2}$의 주기가 모두 $4$이므로 다음과 같다.

$- 1 \leq t < 0$이면 직선 $y = t$와 $\alpha ( t ) ,$ $\beta ( t )$는 다음 그림과 같다.

이때, 함수 $\displaystyle y = \cos \frac{\pi x}{2}$의 그래프는 함수 $\displaystyle y = \sin \frac{\pi x}{2}$의 그래프를 평행이동시키면 겹쳐질 수 있고 함수 $\displaystyle y = \sin \frac{\pi x}{2}$의 그래프는 직선 $x = 1 ,$ $x = 3$에 대하여 대칭이고 점 $( 2 , 0 )$에 대하여 대칭이다. 그러므로 $\alpha ( t ) = 1 + k$ $\left( 0 < k \leq 1 ) \right.$ 로 놓으면 $\beta ( t ) = 4 - k$ 그러므로 $\alpha ( t ) + \beta ( t ) = 5$ <참> ㄴ. 실근 $\alpha ( t ) ,$ $\beta ( t )$는 집합 $\left\{ x | 0 \leq x < 4 \right\}$의 원소이므로 $\beta ( 0 ) = 3 ,$ $\alpha ( 0 ) = 0$ 그러므로 주어진 식은 $\left\{ t | \beta ( t ) - \alpha ( t ) = \beta ( 0 ) - \alpha ( 0 ) \right\}$$= \left\{ t | \beta ( t ) - \alpha ( t ) = 3 \right\}$ (ⅰ) $\displaystyle 0 \leq t \leq \frac{\sqrt{2}}{2}$일 때, $t = 0$이면 $\beta ( 0 ) - \alpha ( 0 ) = 3 - 0 = 3$ $t \ne 0$이면 다음 그림과 같다.

이때, $\alpha ( t ) = k$ $\displaystyle \left( 0 < k \leq \frac{1}{2} \right)$ 이라 하면 $\beta ( t ) = 3 + k$ 그러므로 $\beta ( t ) - \alpha ( t ) = 3$ (ⅱ) $\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2} < t < 1$일 때,

이때, $\alpha ( t ) = k$ $\displaystyle \left( 0 < k < \frac{1}{2} \right)$ 이라 하면 $\beta ( t ) = 4 - k$ 그러므로 $\beta ( t ) - \alpha ( t ) = 4 - 2 k$ $( 0 < 2 k < 1 )$ (ⅲ) $t = 1$일 때, $\alpha ( 1 ) = 0 ,$ $\beta ( 1 ) = 1$이므로 $\beta ( 1 ) - \alpha ( 1 ) = 1$ (ⅳ) $- 1 \leq t < 0$일 때,

$1 < \alpha ( t ) \leq 2 ,$ $3 \leq \beta ( t ) < 4$이므로 $\beta ( t ) - \alpha ( t ) < 3$ 따라서 (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ), (ⅳ)에서 $\left\{ t | \beta ( t ) - \alpha ( t ) = 3 \right\}$$\displaystyle = \left\{ t \left| 0 \leq t \leq \frac{\sqrt{2}}{2} \right\} \right.$ <참> ㄷ. $\alpha \left( t _{1} \right) = \alpha \left( t _{2} \right)$이기 위해서는 $\displaystyle 0 < t _{1} < \frac{\sqrt{2}}{2} < t _{2}$ 이때, $\alpha ( t _{1} ) = \alpha ( t _{2} ) = \alpha$라 하면 $\displaystyle t _{1} = \sin \frac{\pi}{2} \alpha ,$ $\displaystyle t _{2} = \cos \frac{\pi}{2} \alpha$ 이때, $\displaystyle t _{2} = t _{1} + \frac{1}{2}$이므로 $\displaystyle \cos \frac{\pi}{2} \alpha = \sin \frac{\pi}{2} \alpha + \frac{1}{2}$ 이 식을 $\displaystyle \cos ^{2} \frac{\pi}{2} \alpha + \sin ^{2} \frac{\pi}{2} \alpha = 1$에 대입하면 $\displaystyle 2 \sin ^{2} \frac{\pi}{2} \alpha + \sin \frac{\pi}{2} \alpha + \frac{1}{4} = 1$ $\displaystyle 8 \sin ^{2} \frac{\pi}{2} \alpha + 4 \sin \frac{\pi}{2} \alpha - 3 = 0$ $\displaystyle \sin \frac{\pi}{2} \alpha = \frac{- 2 \pm \sqrt{28}}{8}$ 이때, $\displaystyle \sin \frac{\pi}{2} \alpha > 0$이므로 $\displaystyle \sin \frac{\pi}{2} \alpha = \frac{- 1 + \sqrt{7}}{4}$ 그러므로 $\displaystyle t _{1} = \frac{- 1 + \sqrt{7}}{4} ,$ $\displaystyle t _{2} = t _{1} + \frac{1}{2} = \frac{1 + \sqrt{7}}{4}$ 따라서 $\displaystyle t _{1} \times t _{2} = \frac{\left( - 1 + \sqrt{7} \right) \left( 1 + \sqrt{7} \right)}{16} = \frac{3}{8}$ <거짓>