대수수열의 합수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

삼각 배열 수열 합

문제

다음은 수열{an}\left\{ a _{n} \right\}에서 제11행에는 a1a _{1}을 nn개, 제22행에는 a2a _{2}를 n−1n - 1개, 제33행에는 a3a _{3}을 n−2n - 2개, ⋯\cdots, 제nn행에는 ana _{n}을 11개 나열한 것이다.

제11행부터 제nn행까지의 모든 항들의 합이 n(n+1)(n+5)6\displaystyle \frac{n ( n + 1 ) ( n + 5 )}{6}일 때, a21+a22+a23+⋯+a30a _{21} + a _{22} + a _{23} + \cdots + a _{30}의 값을 구하시오. [4점]

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해설

제11행부터 제nn행까지의 모든 항의 합을 Sn\mathrm{S} _{n}이라 두면 Sn=na1+(n−1)a2+(n−2)a3+⋯+2an−1+an\mathrm{S} _{n} = n a _{1} + ( n - 1 ) a _{2} + ( n - 2 ) a _{3} + \cdots + 2 a _{n-1} + a _{n} Sn−1=(n−1)a1+(n−2)a2+(n−3)a3+⋯+an−1\mathrm{S} _{n-1} = ( n - 1 ) a _{1} + ( n - 2 ) a _{2} + ( n - 3 ) a _{3} + \cdots + a _{n-1} Tn=Sn−Sn−1=a1+a2+a3+⋯+an\mathrm{T} _{n} = \mathrm{S} _{n} - \mathrm{S} _{n-1} = a _{1} + a _{2} + a _{3} + \cdots + a _{n}이다. Tn=n(n+1)(n+5)6−(n−1)n(n+4)6=n(n+3)2\displaystyle \begin{aligned} \mathrm{T} _{n} & = \frac{n ( n + 1 ) ( n + 5 )}{6} - \frac{( n - 1 ) n ( n + 4 )}{6} = \frac{n ( n + 3 )}{2} \end{aligned} ∴a21+a22+⋯+a30=T30−T20\begin{aligned} \therefore a _{21} + a _{22} + \cdots + a _{30} & = \mathrm{T} _{30} - \mathrm{T} _{20} \end{aligned} =30(30+3)2−20(20+3)2=265\displaystyle = \frac{30 ( 30 + 3 )}{2} - \frac{20 ( 20 + 3 )}{2} = 265

태그

#수열의 합과 일반항#규칙

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