삼차식 인수 보기

[출제의도] 인수정리와 이차방정식의 판별식을 이용하여 방정식의 근을 추론한다. ㄱ. $f ( 1 )$$= 1 + ( 2 a - 1 ) + ( b ^{2} - 2 a ) - b ^{2}$$= 0$이므로 인수정리에 의하여 $f ( x )$는 $x - 1$을 인수로 갖는다. (참) ㄴ. $f ( x )$$= x ^{3} + \left( 2 a - 1 \right) x ^{2} + \left( b ^{2} - 2 a \right) x - b ^{2}$이므로 조립제법에 의하여

따라서 $f ( x )$$= ( x - 1 ) ( x ^{2} + 2 ax + b ^{2} )$ 이차방정식 $x ^{2} + 2 ax + b ^{2} = 0$의 판별식을 $D$라 하면 $\displaystyle \frac{D}{4} = a ^{2} - b ^{2} = ( a - b ) ( a + b )$이다. 이때 $a < b < 0$이면 $a - b < 0$, $a + b < 0$이므로 $D > 0$이 되어 이차방정식 $x ^{2} + 2 ax + b ^{2} = 0$은 항상 서로 다른 두 실근을 갖는다. 한편 삼차방정식 $f ( x ) = 0$이 서로 다른 두 실근을 가지려면 이차방정식 $x ^{2} + 2 ax + b ^{2} = 0$이 $x = 1$을 근으로 가져야 하고 $1 + 2 a + b ^{2} = 0$이어야 한다. 예를 들어 $a = \mathit{-} 2$, $\displaystyle b = \mathit{-} \sqrt{3}$이면 $a < b < 0$이고 $1 + 2 a + b ^{2} = 0$이며, $f ( x )$$= ( x - 1 ) ( x ^{2} - 4 x + 3 )$$= ( x - 1 ) ^{2} ( x - 3 )$이므로 방정식 $f ( x )$$= 0$의 서로 다른 실근의 개수는 $2$이다. (참) ㄷ. 방정식 $f ( x ) = 0$이 서로 다른 세 실근을 가지므로 이차방정식 $x ^{2} + 2 ax + b ^{2}$$= 0$이 $1$이 아닌 서로 다른 두 실근을 가져야 한다. 이차방정식 $x ^{2} + 2 ax + b ^{2}$$= 0$의 서로 다른 두 실근의 합이 $- 2 a$이므로 방정식 $f ( x ) = 0$의 서로 다른 실근의 합은 $1 + ( - 2 a )$$= 7$에서 $a$$= \mathit{-} 3$ $x ^{2} + 2 ax + b ^{2} = 0$의 판별식을 $D$라 하면 $\displaystyle \frac{D}{4} = a ^{2} - b ^{2} > 0$이어야 하므로 $b ^{2} < a ^{2} = 9$ 또, $x = 1$이 방정식 $x ^{2} + 2 ax + b ^{2} = 0$의 근이 아니어야 하므로 $1 + 2 a + b ^{2} \ne 0$, 즉 $b ^{2} \ne 5$ 그러므로 두 정수 $a$, $b$의 순서쌍 $\left( a , b \right)$는 $\left( - 3 , - 2 \right)$, $\left( - 3 , - 1 \right)$, $\left( - 3 , 0 \right)$, $\left( - 3 , 1 \right)$, $\left( - 3 , 2 \right)$이다. (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.