미적분Ⅰ도함수의 활용수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

삼차함수의 접선 조건

문제

삼차함수 $f ( x ) = x ^{3} + ax ^{2} + 9 x + 3$ 의 그래프 위의 점 $( 1 , f ( 1 ) )$ 에서의 접선의 방정식이 $y = 2 x + b$ 이다. $a + b$ 의 값은? (단, $a , b$ 는 상수이다.) [4점] ① $1$ ② $2$ ③ $3$ ④ $4$ ⑤ $5$

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①

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해설

$f ( x ) = x ^{3} + ax ^{2} + 9 x + 3$ 에서 $f' ( x ) = 3 x ^{2} + 2 ax + 9$ 점 $( 1 , f ( 1 ) )$ 에서의 접선의 방정식이 $y = 2 x + b$ 이므로 $f' ( 1 ) = 2$ 이다. $3 + 2 a + 9 = 2$ 에서 $2 a = - 10$ $\therefore a = - 5$ 또, $f ( 1 ) = 2 + b$ 에서 $1 - 5 + 9 + 3 = 2 + b$ $\therefore b = 6$ $\therefore a + b = - 5 + 6 = 1$

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