삼차함수 접선이 만드는 두 넓이의 비

점 $( t , t ^{3} )$에서 곡선 $y = x ^{3}$에 접하는 접선의 방정식은 $y = 3 t ^{2} ( x - t ) + t ^{3} = 3 t ^{2} x - 2 t ^{3}$ ⋯⋯ ㉠ $x ^{3} = 3 t ^{2} x - 2 t ^{3}$에서 $x ^{3} - 3 t ^{2} x + 2 t ^{3} = 0$ $( x - t ) ^{2} ( x + 2 t ) = 0$ 따라서 ㉠이 곡선 $y = x ^{3}$과 만나는 점의 $x$좌표는 $- 2 t$이다. 위 원리에 의하여 점 $\mathrm{B}$의 $x$좌표는 $- 2 a$이고 점 $\mathrm{C}$의 $x$좌표는 $4 a$이다. $\displaystyle \left| \int _{\alpha} ^{\beta} p ( x - \alpha ) ^{2} ( x - \beta ) dx \right| = \frac{| p |}{12} ( \beta - \alpha ) ^{4}$이므로 구하는 값은 $\displaystyle \frac{\left| \int _{- 2 a} ^{4 a} {} ( x + 2 a ) ^{2} ( x - 4 a ) dx \right|}{\left| \int _{a} ^{- 2 a} {} ( x - a ) ^{2} ( x + 2 a ) dx \right|} =$$\displaystyle \frac{\frac{1}{12} ( 6 a ) ^{4}}{\frac{1}{12} ( - 3 a ) ^{4}}$$= 16$ [참고] ⅰ) 최고차항의 계수가 $a$인 이차함수 $f ( x )$가 직선 $l$과 두 점 $( \alpha , f ( \alpha ) )$, $( \beta , f ( \beta ) )$ (단, $\beta \ne \alpha$)에서 만날 때, 곡선 $y = f ( x )$와 직선 $l$로 둘러싸인 부분의 넓이는 $\displaystyle \frac{| a |}{6} ( \beta - \alpha ) ^{3}$ ⅱ) 최고차항의 계수가 $a$인 삼차함수 $f ( x )$ 위의 점 $( \alpha , f ( \alpha ) )$에서의 접선 $l$이 곡선 $y = f ( x )$와 만나는 점을 $( \beta , f ( \beta ) )$ (단, $\beta \ne \alpha$)라 할 때, 곡선 $y = f ( x )$와 직선 $l$로 둘러싸인 부분의 넓이는 $\displaystyle \frac{| a |}{12} ( \beta - \alpha ) ^{4}$ ⅲ) 최고차항의 계수가 $a$인 사차함수 $f ( x )$ 와 직선 $l$이 두 점 $( \alpha , f ( \alpha ) )$, $( \beta , f ( \beta ) )$ (단, $\beta \ne \alpha$)에서 접할 때, 곡선 $y = f ( x )$와 직선 $l$로 둘러싸인 부분의 넓이는 $\displaystyle \frac{| a |}{30} ( \beta - \alpha ) ^{5}$