공통수학1이차부등식과 연립이차부등식수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

삼차함수 그래프 부등식

문제

그림과 같이 삼차함수 y=f(x)y = f ( x )의 그래프와 직선 y=x+1y = x + 1은 세 점에서 만나고 그 교점의 xx좌표는 −2,1,3- 2 , 1 , 3 이다. 부등식 xf(2x)−1≥12\displaystyle \frac{x}{f ( 2 x ) - 1} \geq \frac{1}{2}을 만족시키는 실수 xx의 최댓값을 MM, 최솟값을 mm이라 할 때, M+mM + m의 값은? [4점]

①−1- 1②−12\displaystyle - \frac{1}{2}③12\displaystyle \frac{1}{2}④11⑤32\displaystyle \frac{3}{2}

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③

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해설

2x=t2 x = t로 치환하면 부등식 xf(2x)−1≥12\displaystyle \frac{x}{f {\left( 2 x \right) - 1}} \geq \frac{1}{2} ⇆ tf(t−1)−1≥1\displaystyle \frac{t}{f {\left( t - 1 \right) - 1}} \geq 1 (i) f(t)>1f ( t ) > 1이면 f(t)≤t+1f \left( t \right) \leq t + 1 이어야 하므로 주어진 그래프에서 두 조건을 만족하는 tt의 범위는 1≤t≤31 \leq t \leq 3이다. (ii) f(t)<1f ( t ) < 1이면 f(t)≥t+1f ( t ) \geq t + 1 이어야 하므로 같은 방법으로 tt의 범위를 구하면 −2≤t<α- 2 \leq t < \alpha이다. ∴ −2≤2x<α- 2 \leq 2 x < \alpha 1≤2x≤31 \leq 2 x \leq 3 −1≤α≤α2\displaystyle - 1 \leq \alpha \leq \frac{\alpha}{2} 12≤α≤32\displaystyle \frac{1}{2} \leq \alpha \leq \frac{3}{2} ∴ M=32\displaystyle \mathrm{M} = \frac{3}{2} , m=−1m = - 1 M+m=12\displaystyle \mathrm{M} + \mathit{m} = \frac{1}{2}

태그

#그래프 해석#부등식

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