삼차함수 극한 조건

[출제의도] 미분법을 이용하여 조건을 만족시키는 삼차함수의 함숫값을 구할 수 있는가? $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 2} {\frac{f ( x )}{( x - 2 ) \left\{ f' x ) \right\} ^{2}} = \frac{1}{4}}$에서 $x \rightarrow 2$일 때, (분모)$\rightarrow 0$이므로 (분자)$\rightarrow 0$이어야 한다. 즉 $f ( 2 ) = 0$이므로 $f ( x ) = ( x - 1 ) ( x - 2 ) ( x + a )$로 놓을 수 있다. 이때, $f' ( x ) = ( x - 2 ) ( x + a ) + ( x - 1 ) ( x + a )$$+ ( x - 1 ) ( x - 2 )$ 이므로 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 2} {\frac{f ( x )}{( x - 2 ) \left\{ f' x ) \right\} ^{2}}}$ $\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 2} {\frac{( x - 1 ) ( x + a )}{\left\{ f' ( x ) \right\} ^{2}}}$ $\displaystyle = \frac{2 + a}{\left( 2 + a \right) ^{2}} = \frac{1}{2 + a}$ 따라서 $\displaystyle \frac{1}{2 + a} = \frac{1}{4}$에서 $a = 2$이므로 $f ( x ) = ( x - 1 ) ( x - 2 ) ( x + 2 )$ 즉 $f ( 3 ) = 2 \times 1 \times 5 = 10$