미적분Ⅰ미분계수와 도함수수능 기출기본 문제 (3점 중반)

삼차함수 도함수 합

문제

00이 아닌 서로 다른 세 실수 p,q,rp , q , r에 대하여 삼차함수 f(x)=(x−p)(x−q)(x−r)f ( x ) = ( x - p ) ( x - q ) ( x - r )라 할 때, p2f′(p)+q2f′(q)+r2f′(r)\displaystyle \frac{p ^{2}}{f' ( p )} + \frac{q ^{2}}{f' ( q )} + \frac{r ^{2}}{f' ( r )}의 값은? [3점] ①−1- 1②−12\displaystyle - \frac{1}{2}③00④12\displaystyle \frac{1}{2}⑤11

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⑤

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해설

f′(x)=(x−q)(x−r)+(x−r)(x−p)+(x−p)(x−q)f' ( x ) = ( x - q ) ( x - r ) + ( x - r ) ( x - p ) + ( x - p ) ( x - q ) 이므로 p2f′(p)+q2f′(q)+r2f′(r)\displaystyle \frac{p ^{2}}{f ' ( p )} + \frac{q ^{2}}{f ' ( q )} + \frac{r ^{2}}{f ' ( r )} =p2(p−q)(p−r)+q2(q−r)(q−p)+r2(r−p)(r−q)\displaystyle = \frac{p ^{2}}{( p - q ) ( p - r )} + \frac{q ^{2}}{( q - r ) ( q - p )} + \frac{r ^{2}}{( r - p ) ( r - q )} =p2(q−r)−q2(p−r)+r2(p−q)(p−q)(p−r)(q−r)\displaystyle = \frac{p ^{2} ( q - r ) - q ^{2} ( p - r ) + r ^{2} ( p - q )}{( p - q ) ( p - r ) ( q - r )} 이때, p2(q−r)−q2(p−r)+r2(p−q)p ^{2} ( q - r ) - q ^{2} ( p - r ) + r ^{2} ( p - q ) =p2(q−r)−(q2−r2)p+q2r−qr2= p ^{2} ( q - r ) - ( q ^{2} - r ^{2} ) p + q ^{2} r - qr ^{2} =(q−r){p2−(q+r)p+qr}= ( q - r ) \left\{ p ^{2} - ( q + r ) p + qr \right\} =(p−q)(p−r)(q−r)= ( p - q ) ( p - r ) ( q - r ) 이므로 p2f′(p)+q2f′(q)+r2f′(r)\displaystyle \frac{p ^{2}}{f ' ( p )} + \frac{q ^{2}}{f ' ( q )} + \frac{r ^{2}}{f ' ( r )}=1= 1

태그

#도함수#곱의 미분

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