삼차함수 비의 극한

$n = 1$일 때, $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1} {}$$\displaystyle \frac{f \left( x \right)}{g \left( x \right)} = 0$ ……㉠ $n = 2$일 때, $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 2} {}$$\displaystyle \frac{f \left( x \right)}{g \left( x \right)} = 0$ ……㉡ $n = 3$일 때, $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 3} {}$$\displaystyle \frac{f \left( x \right)}{g \left( x \right)} = 2$ ……㉢ $n = 4$일 때, $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 4} {}$$\displaystyle \frac{f \left( x \right)}{g \left( x \right)} = 6$ ……㉣ 조건 ㈎에서 $g \left( 1 \right) = 0$이므로 최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수 $g \left( x \right)$는 $g \left( x \right) = \left( x - 1 \right) \left( x ^{2} + ax + b \right)$로 놓을 수있다. 따라서 ㉠, ㉡에서 $f \left( x \right) = \left( x - 1 \right) ^{2} \left( x - 2 \right)$이고 ㉢에서 $\displaystyle \frac{f \left( 3 \right)}{g \left( 3 \right)} = \frac{2}{9 + 3 a + b} = 2$이므로 $3 a + b + 8 = 0$ ……㉤ ㉣에서 $\displaystyle \frac{f \left( 4 \right)}{g \left( 4 \right)} = \frac{6}{16 + 4 a + b} = 6$이므로 $4 a + b + 15 = 0$ ……㉥ ㉤, ㉥을 연립하여 풀면 $a = - 7$, $b = 13$ ∴ $g \left( x \right) = \left( x - 1 \right) \left( x ^{2} - 7 x + 13 \right)$ 따라서 구하는 $g \left( 5 \right)$의 값은 $4 \times 3 = 12$