미적분Ⅱ급수수능 기출기본 문제 (3점 중반)

삼차방정식의 실근으로 만든 무한등비급수

문제

삼차방정식 $x ^{3} + ax - 1 = 0$ ( $a > 0$ )의 실근을 $r$ 라 하자. $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} r ^{3 n - 2} = \frac{1}{2}$ 일 때, 양수 $a$ 의 값을 구하시오. [3점]

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해설

$y = ax$ ( $a > 0$ ), $y = 1 - x ^{3}$ 의 그래프에서 방정식 $x ^{3} + ax - 1 = 0$ 은 실근 $r$ 은 단 하나이고, $0 < r < 1$ , $1 - r ^{3} = ar$ 이다. 따라서 $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} r ^{3 n - 2} =$ $\displaystyle \frac{r}{1 - r ^{3}}$ $\displaystyle = \frac{r}{ar} = \frac{1}{a} = \frac{1}{2}$ , $\therefore$ $a = 2$

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