삼차방정식의 허근

$x ^{3} + x ^{2} + x - 3 = 0$에서 $\left( x - 1 \right) \left( x ^{2} + 2 x + 3 \right) = 0$ 이므로 삼차방정식 $x ^{3} + x ^{2} + x - 3 = 0$의 두 허근 $\alpha$, $\beta$는 이차방정식 $x ^{2} + 2 x + 3 = 0$의 두 근이다. 그러므로 $\alpha ^{2} + 2 \alpha + 3 = 0$, $\beta ^{2} + 2 \beta + 3 = 0$이다. 따라서 $\left( \alpha ^{2} + 2 \alpha + 6 \right) \left( \beta ^{2} + 2 \beta + 8 \right)$$= ( 0 + 3 ) ( 0 + 5 ) = 15$이다.