삼차방정식 실근 보기

[출제의도] 도함수의 성질을 이용하여 추측하기

$f' ( x ) = ( x - n ) ( 3 x - n )$이므로 $\displaystyle x = \frac{n}{3}$에서 극댓값, $x = n$에서 극솟값을 가진다. $\displaystyle f \left( \frac{n}{3} \right) = f \left( \frac{4}{3} n \right)$이므로 $x$에 대한 방정식 $f ( x ) = f ( k )$의 서로 다른 실근의 개수가 3이 되는 자연수 $k$의 값의 범위는 $\displaystyle 0 < k < \frac{4}{3} n$ (단, $\displaystyle k \ne \frac{n}{3} , n$) ⅰ) $n$이 3의 배수가 아니면 $g ( n ) =$($\displaystyle \frac{4}{3} n$보다 작은 최대의 정수)-1 $\cdots$㉠ ⅱ) $n$이 3의 배수이면 $\displaystyle g ( n ) = \frac{4}{3} n - 3 \cdots$ ㉡ ㄱ. $g ( 1 ) = 0$ (참) ㄴ. $\displaystyle g ( n ) = \frac{4}{3} n - 3$ (참) ㄷ. ㉠, ㉡에 의하여 $g ( 2 ) = 1$, $g ( 3 ) = 1$, $g ( 4 ) = 4$, $g ( 5 ) = 5$, $g ( 6 ) = 5$, $g ( 7 ) = 8$, $g ( 8 ) = 9$, $g ( 9 ) = 9$, $g ( 10 ) = 12$ 이므로 $\displaystyle \sum\limits _{n = 2} ^{10} g ( n ) = 54$ (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ 이다.