삼차방정식 허근

$f \left( x \right) = x ^{2} + ax + b$라 하자. (ⅰ) $\gamma$가 $1$인 경우 $f \left( x \right) = 0$의 두 근이 $\alpha$, $\beta$이다. $\alpha + \beta$는 실수이므로 $\left( 2 \alpha + 2 \beta - \gamma \right) ^{2} = - 81$을 만족시키지 않는다. (ⅱ) $\alpha$ 또는 $\beta$가 $1$인 경우 (ⅱ-1) $\alpha = 1$일 때, 이차방정식 $f \left( x \right) = 0$의 두 근이 모두 실수일 때, $\left( 2 \alpha + 2 \beta - \gamma \right) ^{2} = - 81$을 만족시키지 않으므로 이차방정식 $f \left( x \right) = 0$은 허근을 가진다. 근의 공식에 의하여 이차방정식 $f \left( x \right) = 0$의 근은 $p + qi$ 또는 $p - qi \left( p , q \right.$는 실수$\left. \right)$이다. $\beta = p + qi$, $\gamma = p - qi$라 하면 $2 \alpha + 2 \beta - \gamma = \left( 2 + p \right) + 3 qi$ $\left( 2 \alpha + 2 \beta - \gamma \right) ^{2} = - 81$이므로 $2 \alpha + 2 \beta - \gamma$의 실수부분이 $0$이다. 그러므로 $p = - 2$, $q = \pm 3$이고 $\displaystyle \beta = {\overline{\gamma}}$는 $- 2 + 3 i$, $- 2 - 3 i$ 중 하나이다. (ⅱ-2) $\beta = 1$일 때, (ⅱ-1)과 같은 방법으로 $\displaystyle \alpha = {\overline{\gamma}}$는 $- 2 + 3 i$, $- 2 - 3 i$ 중 하나이다. 따라서 $\left( 4 + \alpha \right) \left( 4 + \beta \right) \left( 4 + \gamma \right)$ $= 5 \times \left( 2 + 3 i \right) \times \left( 2 - 3 i \right) = 5 \times 13 = 65$