공통수학1여러 가지 방정식수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

삼차방정식 근의 절댓값 합

문제

삼차방정식 x3−9x2+13x+23=0x ^{3} - 9 x ^{2} + 13 x + 23 = 0의 세 실근을 α,β,γ\alpha , \beta , \gamma라 할 때, ∣α∣+∣β∣+∣γ∣| \alpha | + | \beta | + | \gamma |의 값을 구하시오. [3점]

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해설

[출제 의도] 삼차방정식의 세 근을 구할 수 있다. f(x)=x3−9x2+13x+23f ( x ) = x ^{3} - 9 x ^{2} + 13 x + 23으로 놓으면 f(−1)=0f ( - 1 ) = 0 따라서, f(x)f ( x )는 x+1x + 1을 인수로 갖는다.

−1- 1 11−9- 913132323
−1- 11010−23- 23
11−10- 10232300

조립제법에서 f(x)=(x+1)(x2−10x+23)f ( x ) = ( x + 1 ) ( x ^{2} - 10 x + 23 )이므로, 주어진 방정식은 (x+1)(x2−10x+23)=0( x + 1 ) ( x ^{2} - 10 x + 23 ) = 0 ∴x=−1x = - 1또는 x=5±2\displaystyle x = 5 \pm \sqrt{2} ∴∣α∣+∣β∣+∣γ∣| \alpha | + | \beta | + | \gamma |=1+(5+2)+(5−2)\displaystyle = 1 + ( 5 + \sqrt{2} ) + ( 5 - \sqrt{2} )=11= 11

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#삼차방정식#조립제법

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