삼차방정식 근의 곱

[출제의도] 근의 개념과 인수정리를 이용하여 조건을 만족시키는 삼차방정식을 풀 수 있는가를 묻는 문제이다. (가)에서 $f ( 4 ) = 0$ ∴ $64 + 16 a + 4 b + c = 0$ … ㉠ (나)에서 $x = 2 i$가 근이므로 $- 8 i - 4 a + 2 b i + c = 0$ ∴ $c - 4 a + 2 ( b - 4 ) i = 0$ …　㉡ ㉡에서 $c = 4 a , b = 4$ 이것을 ㉠에 대입하면 $a = - 4 , c = - 16$ ∴ $f ( x ) = x ^{3} - 4 x ^{2} + 4 x - 16$$= ( x - 4 ) ( x ^{2} + 4 )$ $f ( 2 x ) = ( 2 x - 4 ) ( 4 x ^{2} + 4 ) = 8 ( x - 2 ) ( x ^{2} + 1 )$ 삼차방정식 $f ( 2 x ) = 0$을 풀면 $8 ( x - 2 ) ( x ^{2} + 1 ) = 0$ ∴ $x - 2 = 0$, $x ^{2} + 1 = 0$ $f ( 2 x ) = 0$의 세 근은 $2 , i , - i$이다. 따라서 구하는 세 근의 곱은 $2 \times i \times ( - i ) = 2$