삼차방정식 근 보기

[출제의도] 연역적 추론능력(증명)-다함함수의 미분법 $f ( x ) = x ^{2} - 3 x + 1$에서 $f' ( x ) = 3 x ^{2} - 3$ $f' ( x ) = 0$에서 $x = - 1$또는 $x = 1$ 따라서 함수 $y = f ( x )$의 그래프는 그림과 같다.

ㄱ. (참) $f \left( \left| \alpha _{1} \right| \right) = f ( - \alpha _{1} ) = - \alpha _{1} ^{3} + 3 \alpha _{1} + 1$$= 2 - ( \alpha _{1} ^{3} - 3 \alpha _{1} + 1 ) = 2 - f ( \alpha _{1} ) = 2$ 따라서 $\alpha _{3} < \left| \alpha _{1} \right|$이 성립한다. ㄴ. (참) $f ( g ( \alpha ) ) = \left\{ g ( \alpha ) \right\} ^{3} - 3 g ( \alpha ) + 1$ $= ( \alpha ^{2} - 2 ) ^{3} - 3 ( \alpha ^{2} - 2 ) + 1$ $= \alpha ^{6} - 6 \alpha ^{4} + 9 \alpha ^{2} - 1$ $= ( \alpha ^{3} - 3 \alpha ) ^{2} - 1$ $= ( \alpha ^{3} - 3 \alpha + 1 ) ( \alpha ^{3} - 3 \alpha - 1 )$ $= f ( \alpha ) ( \alpha ^{3} - 3 \alpha - 1 ) = 0$ ㄷ. (거짓) ㄴ에서 $\alpha$가 방정식 $f ( x ) = 0$의 근이면 $g ( \alpha )$도 방정식 $f ( x ) = 0$의 근이다. 따라서 $g ( \alpha _{1} ) , g ( \alpha _{2} ) , g ( \alpha _{3} )$은 방정식 $f ( x ) = 0$의 서로 다른 세 실근이다. ㄱ에서 $0 < \alpha _{2} < \alpha _{3} < \left| \alpha _{1} \right|$이고, $x > 0$일 때, 함수 $g ( x ) = x ^{2} - 2$는 증가함수이므로 $g ( \alpha _{2} ) < g ( \alpha _{3} ) < g ( \left| \alpha _{1} \right| ) = g ( \alpha _{1} )$ 따라서 $g ( \alpha _{2} ) = \alpha _{1} , g ( \alpha _{3} ) = \alpha _{2} , g ( \alpha _{1} ) = \alpha _{3}$이므로 $\displaystyle \frac{g ( \alpha _{1} )}{\alpha _{3}} + \frac{g ( \alpha _{2} )}{\alpha _{1}} + \frac{g ( \alpha _{3} )}{\alpha _{2}} = 1 + 1 + 1 = 3$ 이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.