미적분Ⅱ도함수의 활용수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

사잇값과 평균값 정리

문제

실수 전체의 집합에서 이계도함수를 갖는 함수 f(x)f ( x )가 f(−1)=−1,f(0)=1,f(1)=0f ( - 1 ) = - 1 , f ( 0 ) = 1 , f ( 1 ) = 0을 만족시킬 때, <보기>에서 항상 옳은 것을 모두 고른 것은? [3점]

<보 기>
ㄱ. f(a)=12\displaystyle f ( a ) = \frac{1}{2}인 실수 aa가 구간 (−1,1)( - 1 , 1 )에 두 개 이상 존재한다. ㄴ. f′(b)=−1f' ( b ) = - 1인 실수 bb가 구간 (−1,1)( - 1 , 1 )에 적어도 한 개 존재한다. ㄷ. f′′(c)=0f'' ( c ) = 0인 실수 cc가 구간 (−1,1)( - 1 , 1 )에 적어도 한 개 존재한다.

①ㄱ②ㄱ, ㄴ③ㄱ, ㄷ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

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②

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해설

ㄱ. f(x)f ( x )는 미분가능하므로 연속함수이다. f(−1)=−1,f(0)=1f ( - 1 ) = - 1 , f ( 0 ) = 1이므로 중간값의 정리에 의하여 f(c1)=12\displaystyle f ( c _{1} ) = \frac{1}{2}인 실수c1c _{1}이 구간(−1,0)( - 1 , 0 )에 적어도 한 개 존재한다. 또한, f(0)=1,f(1)=0f ( 0 ) = 1 , f ( 1 ) = 0이므로 f(c2)=12\displaystyle f ( c _{2} ) = \frac{1}{2}인 실수c2c _{2}가 구간(0,1)( 0 , 1 )에 적어도 한 개 존재한다. 따라서,f(a)=12\displaystyle f ( a ) = \frac{1}{2}인 실수aa가 구간(−1,1)( - 1 , 1 )에 적어도 두 개 존재한다. (참) ㄴ. g(x)=f(x)+xg ( x ) = f ( x ) + x로 놓으면 f(x)f ( x )가 연속함수이므로 g(x)g ( x )도 연속함수이다. g(0)=f(0)+0=1+0=1g ( 0 ) = f ( 0 ) + 0 = 1 + 0 = 1 g(1)=f(1)+1=0+1=1g ( 1 ) = f ( 1 ) + 1 = 0 + 1 = 1 이므로 롤의 정리에 의하여 g′(b)=0g' ( b ) = 0인 실수bb가 구간(0,1)( 0 , 1 )에 적어도 한 개 존재한다. g′(x)=f′(x)+1g' ( x ) = f' ( x ) + 1이므로 g′(b)=f′(b)+1=0g' ( b ) = f' ( b ) + 1 = 0에서 f′(b)=−1f' ( b ) = - 1 따라서, f′(b)=−1f' ( b ) = - 1인 실수bb가 구간(0,1)( 0 , 1 )에 적어도 한 개 존재한다. (참) ㄷ. (반례) f(x)=−32x2+12x+1\displaystyle f ( x ) = - \frac{3}{2} x ^{2} + \frac{1}{2} x + 1이면 f(−1)=−1,f(0)=1,f(1)=0f ( - 1 ) = - 1 , f ( 0 ) = 1 , f ( 1 ) = 0이지만 f′(x)=−3x+12\displaystyle f' ( x ) = - 3 x + \frac{1}{2} f′′(x)=−3f'' ( x ) = - 3이므로 f′′(c)=0f'' ( c ) = 0인 실수cc는 존재하지 않는다. (거짓) 따라서 보기 중 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

태그

#사잇값 정리#평균값 정리#이계도함수#보기

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