사인함수 교점 개수

함수 $f ( x )$의 주기는 $\displaystyle \frac{2 \pi}{\left| \frac{\pi}{6} \right|} = 12$이고, $\displaystyle f ( 0 ) = - \frac{1}{2} a + b = 8$에서 $a = 2 b - 16$ $g ( t )$의 값은 $0 < x < t$에서 함수 $y = \left| f ( x ) \right|$의 그래프가 직선 $y = 4$와 만나는 점의 개수이므로 $g ( t )$의 값은 $0 < x < t$에서 함수 $y = f ( x )$의 그래프가 직선 $y = 4$와 만나는 점의 개수와 $0 < x < t$에서 함수 $y = f ( x )$의 그래프가 $y = - 4$와 만나는 점의 개수의 합과 같다. ⅰ) $a > 0$일 때 $b > 0$이므로 $f ( 18 ) = 2 b - 8 > 8$이고, 함수 $f ( x )$의 주기는 $12$이므로 함수 $y = f ( x )$의 그래프의 개형은 그림과 같다.

그러므로 함수 $f ( x )$의 최솟값인 $- b + 16$이 $- 4$보다 작을 때 $g ( 18 )$의 값이 최대이고 그 값은 $4$이다. 따라서 $a > 0$일 때 $g ( 18 ) = 5$를 만족시키는 두 실수 $a , b$가 존재하지 않는다. ⅱ) $a < 0$일 때 $b < 8$이고, 함수 $f ( x )$의 최솟값인 $3 b - 16$이 범위에 따른 $g ( 18 )$의 값은 다음과 같다, (a) $4 < 3 b - 16 < 8$일 때, $g ( 18 ) = 0$

(b) $3 b - 16 = 4$일 때 $g ( 18 ) = 2$

(c) $2 < 3 b - 16 < 4$일 때 $f ( 18 ) > 4$이므로 $g ( 18 ) = 4$

(d) $- 4 < 3 b - 16 {\leq} 2$일 때 $0 < f ( 18 ) {\leq} 4$이므로 $g ( 18 ) = 3$

(e) $3 b - 16 = - 4$일 때 $f ( 18 ) = 0$이므로 $g ( 18 ) = 5$

(f) $- 10 < 3 b - 16 < \mathit{-} 4$일 대 $- 4 < f ( 18 ) < 0$이므로 $g ( 18 ) = 7$

(g) $3 b - 16 {\leq} - 10$일 때 $f ( 18 ) {\leq} - 4$이므로 $g ( 18 ) = 6$

ⅰ), ⅱ)에서 $3 b - 16 = - 4$, 즉 $a = - 8$, $b = 4$일 때 $g ( 18 ) = 5$이다. 그러므로 $\displaystyle f ( x ) = - 8 \sin \frac{\pi}{6} ( x - 1 ) + 4$이고 함수 $y = f ( x )$의 그래프는 그림과 같다.

$f ( 1 ) = f ( 7 ) = f ( 13 ) = 4$이고 $f ( 4 ) = - 4$이므로 $7 < p {\leq} 13$인 실수 $p$에 대하여 $0 < x < p$에서 함수 $y = f ( x )$의 그래프가 두 직선 $y = 4$, $y = - 4$와 만나는 점의 개수는 각각 $2 , 1$이다. 그러므로 $g ( \alpha ) = \left| a - b \right| = 12$, 즉 $0 < x < \alpha$에서 함수 $y = f ( x )$의 그래프가 직선 $y = 4$와 만나는 점의 개수와 $0 < x < \alpha$에서 함수 $y = f ( x )$의 그래프가 직선 $y = - 4$와 만나는 점의 개수의 합이 $12$가 되도록 하는 양수 $\alpha$의 값의 범위는 $7 + 12 \times 3 < \alpha {\leq} 13 + 12 \times 3$ $43 < \alpha {\leq} 49$ 따라서 양수 $\alpha$의 최댓값은 $49$이다.