대수삼각함수수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

사인함수 그래프 교점

문제

$\mathrm{5}$ 이하의 두 자연수 $a$ , $b$ 에 대하여 열린구간 $( 0 , 2 \pi )$ 에서 정의된 함수 $y = a \sin x + b$ 의 그래프가 직선 $x = \pi$ 와 만나는 점의 집합을 $A$ 라 하고, 두 직선 $y = 1$ , $y = 3$ 과 만나는 점의 집합을 각각 $B$ , $C$ 라 하자. $n ( A \cup B \cup C ) = 3$ 이 되도록 하는 $a$ , $b$ 의 순서쌍 $( a , b )$ 에 대하여 $a + b$ 의 최댓값을 $M$ , 최솟값을 $m$ 이라 할 때, $M \times m$ 의 값을 구하시오. [4점]

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해설

(ⅰ) $b = 1$ 일 때

$n \left( A \cup B \cup C \right) = 3$ 을 만족하는 $a$ 의 값의 범위는 $3 \leq a \leq 5$ $\therefore$ $4 \leq a + b \leq 6$ (ⅱ) $b = 2$ 일 때

$n \left( A \cup B \cup C \right) = 3$ 을 만족하는 $a$ 의 값은 $1$ 이다. $\therefore$ $a + b = 1 + 2 = 3$ (ⅲ) $b = 3$ 일 때

$n \left( A \cup B \cup C \right) = 3$ 을 만족하는 $a$ 의 값의 범위는 $3 \leq a \leq 5$ $\therefore$ $6 \leq a + b \leq 8$ (ⅳ) $b = 4$ 일 때

$n \left( A \cup B \cup C \right) = 3$ 을 만족하는 $a$ 의 값은 $2$ 이므로 $a + b = 6$ (ⅴ) $b = 5$ 일 때

$n \left( A \cup B \cup C \right)$ 를 만족하는 $a$ 의 값은 $3$ 이므로 $a + b = 8$ 이상에서 $m = 3$ , $M = 8$ $\therefore$ $M \times m = 8 \times 3 = 24$

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