대수삼각함수수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

사인함수 최대최소

문제

함수 f(x)=sin⁡(x+a)f \left( x \right) = \sin \left( x + a \right)가 다음 조건을 만족시키도록 하는 3π3 \pi보다 작은 모든 양수 aa의 값의 합은? [4점]

닫힌구간 [0,π]\left[ 0 , \pi \right]에서 함수 f(x)f \left( x \right)의 최댓값과 최솟값을 각각 MM, mm이라 할 때, 2∣M∣=∣m∣2 \left| M \right| = \left| m \right|이다.

①256π\displaystyle \frac{25}{6} \pi②133π\displaystyle \frac{13}{3} \pi③92π\displaystyle \frac{9}{2} \pi④143π\displaystyle \frac{14}{3} \pi⑤296π\displaystyle \frac{29}{6} \pi

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⑤

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해설

닫힌구간 [0,π]\left[ 0 , \pi \right]에서 함수 f(x)=sin⁡(x+a)f ( x ) = \sin ( x + a )의 최댓값, 최솟값은 각각 닫힌구간 [a,a+π]\left. \left[ a , a + \pi \right] \right.에서 함수 y=sin⁡xy = \sin x의 최댓값, 최솟값과 같다. 함수 y=sin⁡xy = \sin x의 그래프는 그림과 같다.

(ⅰ) 0<a≤π2\displaystyle 0 < a \leq \frac{\pi}{2}일 때 M=1M = 1에서 2∣M∣=22 \left| M \right| = 2이고 m=sin⁡(a+π)=−sin⁡am = \sin \left( a + \pi \right) = - \sin a에서 ∣m∣≤1\left| m \right| \leq 1이므로 2∣M∣=∣m∣2 \left| M \right| = \left| m \right|을 만족시키지 않는다. (ⅱ) π2<a≤π\displaystyle \frac{\pi}{2} < a \leq \pi일 때 M=sin⁡aM = \sin a, m=−1m = - 1이고 2∣M∣=∣m∣2 \left| M \right| = \left| m \right|이므로 sin⁡a=12\displaystyle \sin a = \frac{1}{2}, a=56π\displaystyle a = \frac{5}{6} \pi

(ⅲ) π<a≤32π\displaystyle \pi < a \leq \frac{3}{2} \pi일 때 M=sin⁡(a+π)=−sin⁡aM = \sin \left( a + \pi \right) = - \sin a, m=−1m = - 1이고 2∣M∣=∣m∣2 \left| M \right| = \left| m \right|이므로 sin⁡a=−12\displaystyle \sin a = - \frac{1}{2}, a=76π\displaystyle a = \frac{7}{6} \pi

(ⅳ) 32π<a≤2π\displaystyle \frac{3}{2} \pi < a \leq 2 \pi일 때 M=1M = 1에서 2∣M∣=22 \left| M \left| = 2 \right. \right.이고 m=sin⁡am = \sin a에서 ∣m∣≤1\left| m \left| \leq 1 \right. \right.이므로 2∣M∣=∣m∣2 \left| M \left| = \left| m \left| \right. \right. \right. \right.을 만족시키지 않는다. (ⅴ) 2π<a≤52π\displaystyle 2 \pi < a \leq \frac{5}{2} \pi일 때 M=1M = 1에서 2∣M∣=22 \left| M \left| = 2 \right. \right.이고 m=sin⁡(a+π)=−sin⁡am = \sin \left( a + \pi \right) = - \sin a에서 ∣m∣≤1\left| m \left| \leq 1 \right. \right.이므로 2∣M∣=∣m∣2 \left| M \left| = \left| m \left| \right. \right. \right. \right.을 만족시키지 않는다. (ⅵ) 52π<a≤3π\displaystyle \frac{5}{2} \pi < a \leq 3 \pi일 때 M=sin⁡aM = \sin a, m=−1m = - 1이고 2∣M∣=∣m∣2 \left| M \left| = \left| m \left| \right. \right. \right. \right.이므로 sin⁡a=12\displaystyle \sin a = \frac{1}{2}, a=176π\displaystyle a = \frac{17}{6} \pi

(ⅰ)∼\sim(ⅵ)에 의하여 구하는 모든 양수 aa의 값의 합은 56π+76π+176π=296π\displaystyle \frac{5}{6} \pi + \frac{7}{6} \pi + \frac{17}{6} \pi = \frac{29}{6} \pi

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