사인함수 최대최소

[출제의도] 삼각함수의 그래프를 이용하여 추론하기 함수 $\displaystyle y = 2 \sin \left\{ \frac{\pi}{6} \left( x + 1 \right) \right\}$의 주기는 $\displaystyle \frac{2 \pi}{\left| \frac{\pi}{6} \right|} = 12$이고, 최댓값과 최솟값은 각각 $2$, $- 2$이다. 또한 함수 $\displaystyle y = 2 \sin \left\{ \frac{\pi}{6} \left( x + 1 \right) \right\}$의 그래프는 함수 $\displaystyle y = 2 \sin \frac{\pi}{6} x$의 그래프를 $x$축의 방향으로 $- 1$만큼 평행이동한 그래프이다.

(ⅰ) $1 \leq n \leq 5$일 때 $\displaystyle f \left( 1 \right) = \sqrt{3}$, $2 \leq n \leq 5$일 때 $f \left( n \right) = 2$이고 $1 \leq n \leq 4$일 때 $g \left( n \right) = 1$, $g \left( 5 \right) = 0$이므로 $\displaystyle f \left( 1 \right) - g \left( 1 \right) = \sqrt{3} - 1$, $f \left( 5 \right) - g \left( 5 \right) = 2$, $2 \leq n \leq 4$일 때 $f \left( n \right) - g \left( n \right) = 1$ 그러므로 부등식 $2 < f \left( n \right) - g \left( n \right) < 4$를 만족시키는 자연수 $n$은 존재하지 않는다 (ⅱ) $n = 6$, $7$일 때 $f \left( n \right) = 2$이고 $g \left( 6 \right) = \mathit{-} 1$, $\displaystyle g \left( 7 \right) = \mathit{-} \sqrt{3}$이므로 $f \left( 6 \right) - g \left( 6 \right) = 3$, $\displaystyle f \left( 7 \right) - g \left( 7 \right) = 2 + \sqrt{3}$ 그러므로 부등식 $2 < f \left( n \right) - g \left( n \right) < 4$를 만족시키는 자연수 $n$의 값은 $6$, $7$ (ⅲ) $n \geq 8$일 때 $f \left( n \right) = 2$이고 $g \left( n \right) = \mathit{-} 2$이므로 $f \left( n \right) - g \left( n \right) = 4$ 그러므로 부등식 $2 < f \left( n \right) - g \left( n \right) < 4$를 만족시키는 자연수 $n$은 존재하지 않는다 (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 부등식 $2 < f \left( n \right) - g \left( n \right) < 4$를 만족시키는 모든 자연수 $n$의 값의 합은 $6 + 7 = 13$