사인함수 방정식의 해의 개수

[출제의도] 삼각함수의 그래프를 이용하여 추론하기 함수 $\displaystyle y = \sin \frac{\pi}{2} x$의 치역은 $\left\{ y | - 1 \leq y \leq 1 \right\}$이고, 주기가 $4$이다. 따라서 $0 \leq x \leq 4$에서 함수 $\displaystyle y = \sin \frac{\pi}{2} x$의 그래프가 직선 $y = k$와 두 점에서 만나려면 $- 1 < k < 1$이어야 한다. $0 \leq x \leq 4$에서 함수 $\displaystyle y = \sin \frac{\pi}{2} x$의 그래프가 직선 $y = k$와 만나는 두 점의 $x$좌표를 각각 $\alpha$, $\beta$ $\left( \alpha < \beta \right)$라 하면 $\beta - \alpha > 1$일 때, $f \left( t \right) = 2$를 만족시키는 $t$의 값은 존재하지 않고, $\beta - \alpha < 1$일 때, $f \left( t \right) = 2$를 만족시키는 $t$의 값이 유일하지 않다. $\beta - \alpha = 1$일 때, $f \left( 0 \right) = 1$이므로 $\displaystyle \alpha = \frac{1}{2}$, $\displaystyle \beta = \frac{3}{2}$ $\displaystyle 0 \leq t < \frac{1}{2}$, $\displaystyle \frac{1}{2} < t \leq \frac{3}{2}$일 때, $f \left( t \right) = 1$ $\displaystyle t = \frac{1}{2}$일 때, $f \left( t \right) = 2$ $\displaystyle \frac{3}{2} < t \leq 3$일 때, $f \left( t \right) = 0$ 따라서 $\displaystyle a = \frac{1}{2}$, $\displaystyle b = \frac{3}{2}$, $\displaystyle k = \frac{\sqrt{2}}{2}$이므로 $\displaystyle a ^{2} + b ^{2} + k ^{2} = \left( \frac{1}{2} \right) ^{2} + \left( \frac{3}{2} \right) ^{2} + \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right) ^{2} = 3$

$\displaystyle \frac{1}{2}$ $\displaystyle \frac{3}{2}$ $\displaystyle y = \frac{\sqrt{2}}{2}$ $\displaystyle y = \sin \frac{\pi}{2} x$