사인과 이차함수 합성

함수 $\displaystyle y = \sin \frac{3 \pi x}{a}$의 주기는 $\displaystyle \frac{2 \pi}{\frac{3 \pi}{a}} = \frac{2}{3} a$이므로 $0 \leq x < a$에서 함수 $\displaystyle y = \sin \frac{3 \pi x}{a}$의 그래프는 다음과 같다.

조건 (가)에 의하여 함수 $g \left( x \right)$는 $x = 4$에서 최솟값을 가지므로 이차함수 $f \left( x \right)$의 최고차항의 계수는 양수이다. (ⅰ) $x \geq a$에서 함수 $f \left( x \right) - f \left( a \right)$의 최솟값이 $- 1$보다 큰 경우 $a > 4$이고 그림과 같이 함수 $g \left( x \right)$는 $x = 4$에서 최솟값 $- 1$을 갖는다.

$\displaystyle g \left( 4 \right) = \sin \left( \frac{3 \pi}{a} \times 4 \right) = - 1$에서 $\displaystyle \frac{12}{a} \pi = \frac{3}{2} \pi$이므로 $a = 8$이다. $\displaystyle g \left( 3 \right) = \sin \frac{9}{8} \pi = - \sin \frac{\pi}{8}$ $\displaystyle g \left( 5 \right) = \sin \frac{15}{8} \pi = - \sin \frac{\pi}{8}$ 에서 $g \left( 3 \right) = g \left( 5 \right)$이고 $h \left( 3 \right) = h \left( 5 \right)$이므로 조건 (나)를 만족시키지 않는다. (ⅱ) $x \geq a$에서 함수 $f \left( x \right) = f \left( a \right)$의 최솟값이 $- 1$보다 작은 경우 $a > 4$이고 그림과 같이 함수 $g \left( x \right)$는 $x = 4$에서 최솟값을 갖고, $h \left( 4 \right) = 1$이다.

이차함수 $f \left( x \right) - f \left( a \right)$의 그래프가 $x = 4$에 대하여 대칭이므로 $h \left( n \right) = 2$를 만족시키는 자연수 $n$의 개수는 $1$이 아니다. 그러므로 조건 (나)를 만족시키지 않는다. (ⅲ) $x \geq a$에서 $f \left( x \right) - f \left( a \right)$의 최솟값이 $- 1$인 경우 (ⅰ)과 같은 방법에 의하여 $a > 4$는 조건을 만족시키지 않으므로 $a < 4$이다. 그러므로 이차함수 $f \left( x \right) - f \left( a \right)$는 $x = 4$에서 최솟값 $- 1$을 갖고, $h \left( 4 \right) = 2$이다. 그림과 같이 $h \left( n \right) = 1$을 만족시키는 자연수 $n$의 개수는 $1$이고 $n > 4$이므로 $h \left( 5 \right) = 1$이다.

$h \left( n \right) = 3$을 만족시키는 자연수 $n$에 대하여 $g \left( n \right) = 1$이므로 $\displaystyle n = \frac{a}{6}$ 또는 $\displaystyle n = \frac{5}{6} a$이다. $a < 4$에서 $\displaystyle \frac{a}{6} < \frac{2}{3}$이므로 $\displaystyle \frac{a}{6}$는 자연수가 아니다. 그러므로 $\displaystyle n = \frac{5}{6} a$이다. ① $\displaystyle \frac{5}{6} a = 1$이면 $\displaystyle a = \frac{6}{5}$이고 $h \left( 2 \right) = h \left( 3 \right) = 4$이므로 조건 (나)를 만족시키지 않는다. ② $\displaystyle \frac{5}{6} a = 2$이면 $\displaystyle a = \frac{12}{5}$이고 $h \left( 1 \right) = h \left( 3 \right) = 4$이므로 조건 (나)를 만족시키지 않는다. ③ $\displaystyle \frac{5}{6} a = 3$이면 $\displaystyle a = \frac{18}{5}$이고 $h \left( 1 \right) = 5$, $h \left( 2 \right) = 4$이므로 그림과 같이 조건 (나)를 만족시킨다.

이차함수 $f \left( x \right) - f \left( a \right)$는 $x = 4$에서 최솟값 $- 1$을 가지므로 $f \left( x \right) - f \left( a \right) = b \left( x - 4 \right) ^{2} - 1$이고, 점 $\displaystyle \left( \frac{18}{5} , 0 \right)$을 지나므로 $\displaystyle b \left( \frac{18}{5} - 4 \right) ^{2} - 1 = 0$ $\displaystyle b = \frac{25}{4}$ 이다. $\displaystyle x \geq \frac{18}{5}$일 때, $\displaystyle g \left( x \right) = \frac{25}{4} \left( x - 4 \right) ^{2} - 1$이다. 따라서 $\displaystyle g \left( 10 \right) = \frac{25}{4} \left( 10 - 4 \right) ^{2} - 1 = 224$이다. [참고] 함수 $\displaystyle g \left( x \right) = {\begin{cases} \sin \frac{5 \pi x}{6} & & \left( 0 \leq x < \frac{18}{5} \right) \\ \frac{25}{4} \left( x - 4 \right) ^{2} - 1 & & \left( x \geq \frac{18}{5} \right) \end{cases}}$ 에 대하여 $\displaystyle g \left( 1 \right) = \sin \left( \frac{5}{6} \pi \right) = \frac{1}{2}$이고 $h \left( 1 \right) = 5$, $\displaystyle g \left( 2 \right) = \sin \left( \frac{5}{3} \pi \right) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$이고 $h \left( 2 \right) = 4$, $\displaystyle g \left( 3 \right) = \sin \left( \frac{5}{2} \pi \right) = 1$이고 $h \left( 3 \right) = 3$, $g \left( 4 \right) = - 1$이고 $h \left( 4 \right) = 2$, $\displaystyle g \left( 5 \right) = \frac{25}{4} \left( 5 - 4 \right) ^{2} - 1 = \frac{21}{4} > 1$이고 $h \left( 5 \right) = 1$ 이다.