대수삼각함수수능 기출기본 문제 (3점 중반)

사인곡선 삼각형 넓이

문제

양의 상수 aa에 대하여 곡선 f(x)=asin⁡x+π3(0≤x≤6π)\displaystyle f ( x ) = a \sin \frac{x + \pi}{3} ( 0 \leq x \leq 6 \pi ) 와 직선 y=−a2\displaystyle y = - \frac{a}{2}가 만나는 두 점을 각각 A,BA , B라 하자. 곡선 y=f(x)y = f ( x )위의 제1사분면에 있는 점 PP에 대하여 삼각형 PABPAB의 넓이의 최댓값이 6π6 \pi일 때, aa의 값을 구하시오. [3점]

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해설

[출제의도] 이해능력-삼각함수 asin⁡x+π3=−a2\displaystyle a \sin \frac{x + \pi}{3} = - \frac{a}{2}에서 sin⁡x+π3=−12\displaystyle \sin \frac{x + \pi}{3} = - \frac{1}{2}이므로 x+π3=76π\displaystyle \frac{x + \pi}{3} = \frac{7}{6} \pi 또는 x+π3=116π\displaystyle \frac{x + \pi}{3} = \frac{11}{6} \pi x=52π\displaystyle x = \frac{5}{2} \pi 또는 x=92π\displaystyle x = \frac{9}{2} \pi 즉, AB‾=92π−52π=2π\displaystyle {\overline{AB}} = \frac{9}{2} \pi - \frac{5}{2} \pi = 2 \pi

삼각형 PABPAB의 넓이가 최대이려면 삼각형 PABPAB의 높이가 최대이어야 하므로 점 PP의 yy좌표가 aa일 때 최대이다. 삼각형 PABPAB의 높이가 최대일 때 그 높이는 32a\displaystyle \frac{3}{2} a이다. 삼각형 PABPAB의 넓이의 최댓값이 6π6 \pi이므로 12×2π×32a=6π\displaystyle \frac{1}{2} \times 2 \pi \times \frac{3}{2} a = 6 \pi 따라서 a=4a = 4

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#삼각함수 그래프

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