사인값 집합 보기

$\displaystyle f ( m ) = \sin \frac{2 ( m - 1 )}{k} \pi$라 하면 함수 $f ( m )$의 주기가 $k$이므로 집합 $A _{k}$는 $A _{k} = \left\{ f ( 1 ) , f ( 2 ) , \cdots , f ( k ) \right\}$이다. ㄱ. $k = 3$일 때, $f ( 1 ) = 0$, $\displaystyle f ( 2 ) = \sin \frac{2}{3} \pi = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\displaystyle f ( 3 ) = \sin \frac{2 \times 2}{3} \pi = \mathit{-} \frac{\sqrt{3}}{2}$이므로 $\displaystyle A _{3} = \left\{ - \frac{\sqrt{3}}{2} , 0 , \frac{\sqrt{3}}{2} \right\}$ (참) ㄴ. $1$이 집합 $A _{k}$의 원소가 되려면 $f ( m ) = 1$을 만족시키는 자연수 $m ( m = 1 , 2 , \cdots , k )$가 존재해야 한다. $\displaystyle \sin \frac{2 ( m - 1 )}{k} \pi = 1$에서 $\displaystyle \frac{2 ( m - 1 )}{k} \pi = \frac{\pi}{2}$ $\displaystyle m = 1 + \frac{k}{4}$이고 $m$이 자연수이므로 $k$는 $4$의 배수이어야 한다. 따라서 $k = 12 , 16 , \cdots , 96$이며 그 개수는 $22$이다. (참) ㄷ. $4$ 이상의 자연수 $k$에 대하여 ⅰ) $k = 4 l$($l$은 자연수)인 경우 $\displaystyle f ( m ) = \sin \frac{2 ( m - 1 )}{4 l} \pi = \sin \frac{m - 1}{2 l} \pi$이므로 $m = 1$일 때, $\displaystyle f ( 1 ) = \sin \frac{1 - 1}{2 l} \pi = \sin 0 = 0$ $m = l + 1$일 때, $\displaystyle f ( l + 1 ) = \sin \frac{l + 1 - 1}{2 l} \pi = \sin \frac{\pi}{2} = 1$ $m = 2 l + 1$일 때 $\displaystyle f ( 2 l + 1 ) = \sin \frac{2 l + 1 - 1}{2 l} \pi = \sin \pi = 0$ $m = \alpha ( \alpha = 2 , 3 , \cdots , l )$일 때, $\displaystyle \pi - \frac{\alpha - 1}{2 l} \pi = \frac{( 2 l + 2 - \alpha ) - 1}{2 l} \pi$ 이므로 $\beta = 2 l + 2 - \alpha$라 하면 $f ( \alpha ) = f ( \beta )$

그러므로 집합 $A _{k}$의 원소 중 양수는 $f ( 2 ) , f ( 3 ) , \cdots , f ( l + 1 )$이고 그 개수는 $l$이다. 같은 방법으로 집합 $A _{k}$의 원소 중 음수의 개수도 $l$이다. 따라서 집합 $A _{k}$의 원소의 개수는 $l + l + 1 = 2 l + 1$ ⅱ) $k = 4 l + 1$($l$은 자연수)인 경우 $\displaystyle f ( m ) = \sin \frac{2 ( m - 1 )}{4 l + 1} \pi$이므로 $m = 1$일 때, $\displaystyle f ( 1 ) = \sin \frac{2 \times ( 1 - 1 )}{4 l + 1} \pi = \sin 0 = 0$ $4 l + 1$ 이하의 서로 다른 두 자연수 $r , s$에 대하여 $\displaystyle \frac{2 ( r - 1 )}{4 l + 1} \pi + \frac{2 ( s - 1 )}{4 l + 1} \pi = \frac{2 ( r + s - 2 )}{4 l + 1} \pi$ 에서 $4 l + 1$은 홀수이고 $2 ( r + s - 2 )$는 짝수이므로 $\displaystyle \frac{2 ( r + s - 2 )}{4 l + 1} \pi \ne \pi$, $\displaystyle \frac{2 ( r + s - 2 )}{4 l + 1} \pi \ne 3 \pi$이다.

따라서 집합 $A _{k}$의 원소의 개수는 $4 l + 1$ ⅲ) $k = 4 l + 2$($l$은 자연수)인 경우 $\displaystyle f ( m ) = \sin \frac{2 ( m - 1 )}{4 l + 2} \pi = \sin \frac{m - 1}{2 l + 1} \pi$이므로 $m = 1$일 때, $\displaystyle f ( 1 ) = \sin \frac{1 - 1}{2 l + 1} \pi = \sin 0 = 0$ $m = 2 l + 2$일 때, $\displaystyle f ( 2 l + 2 ) = \sin \frac{2 l + 2 - 1}{2 l + 1} \pi = \sin \pi = 0$ $m = \alpha ( \alpha = 2 , 3 , \cdots , l + 1 )$일 때, $\displaystyle \pi - \frac{\alpha - 1}{2 l + 1} \pi = \frac{( 2 l + 3 - \alpha ) - 1}{2 l + 1} \pi$ 이므로 $\beta = 2 l + 3 - \alpha$라 하면 $f ( \alpha ) = f ( \beta )$

그러므로 집합 $A _{k}$의 원소 중 양수는 $f ( 2 ) , f ( 3 ) , \cdots , f ( l + 1 )$이고 그 개수는 $l$이다. 같은 방법으로 집합 $A _{k}$의 원소 중 음수의 개수도 $l$이다. 따라서 집합 $A _{k}$의 원소의 개수는 $l + l + 1 = 2 l + 1$ ⅳ) $k = 4 l + 3$($l$은 자연수)인 경우 ⅱ)와 같은 방법으로 구하면 집합 $A _{k}$의 원소의 개수는 $4 l + 3$이다. $A _{1} = A _{2} = \left\{ 0 \right\}$이고 ⅰ) ~ ⅳ)에 의하여 집합 $A _{k}$의 원소의 개수는 $\displaystyle n ( A _{k} ) = {\begin{cases} 4 l - 3 _{{} _{{} _{}}} & ( k = 4 l - 3 ) _{{} _{{} _{}}} \\ 2 l - 1 _{{} _{{} _{}}} & ( k = 4 l - 2 ) _{{} _{{} _{}}} \\ 4 l - 1 _{{} _{{} _{}}} & ( k = 4 l - 1 ) _{{} _{{} _{}}} \\ 2 l + 1 & ( k = 4 l ) \end{cases}}$ ($l$은 자연수) $k = 4 l - 3$인 경우 $4 l - 3 = 11$을 만족시키는 자연수 $l$은 존재하지 않는다. $k = 4 l - 2$인 경우 $2 l - 1 = 11$을 만족시키는 자연수 $l$은 $6$이므로 $k = 22$ $k = 4 l - 1$인 경우 $4 l - 1 = 11$을 만족시키는 자연수 $l$은 $3$이므로 $k = 11$ $k = 4 l$인 경우 $2 l + 1 = 11$을 만족시키는 자연수 $l$은 $5$이므로 $k = 20$ 따라서 $n ( A _{k} ) = 11$을 만족시키는 모든 $k$의 값의 합은 $22 + 11 + 20 = 53$ (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ