사인방정식 실근 개수

[출제의도] 삼각함수의 그래프를 이용하여 방정식의 실근의 개수 추측하기 방정식 $\sin ^{2} \left( 4 x \right) - 1 = 0$에서 $\sin 4 x = 1$ 또는 $\sin 4 x = \mathit{-} 1$이다. 따라서 $\displaystyle 0 < x < \frac{n}{12} \pi$에서 함수 $y = \sin 4 x$의 그래프가 직선 $y = 1$ 또는 직선 $y = - 1$과 만나는 점의 개수가 $33$이어야 한다. 함수 $y = \sin 4 x$의 주기는 $\displaystyle \frac{2 \pi}{4}$$\displaystyle = \frac{\pi}{2}$이다. $\displaystyle 0 < x \leq \frac{\pi}{4}$에서 함수 $y = \sin 4 x$의 그래프와 직선 $y = 1$이 만나는 점의 개수가 $1$이고, $\displaystyle \frac{\pi}{4} < x \leq \frac{\pi}{2}$에서 함수 $y = \sin 4 x$의 그래프과 직선 $y = \mathit{-} 1$이 만나는 점의 개수가 $1$이므로 $\displaystyle 0 < x \leq \frac{\pi}{2}$에서 함수 $y = \sin 4 x$의 그래프가 직선 $y = 1$ 또는 직선 $y = \mathit{-} 1$과 만나는 점의 개수가 $2$이다. 따라서 $\displaystyle 0 < x \leq \frac{\pi}{2} \times 16$에서 함수 $y = \sin 4 x$의 그래프가 직선 $y = 1$ 또는 직선 $y = \mathit{-} 1$과 만나는 점의 개수는 $2 \times 6 = 32$이다. 그러므로 $\displaystyle 0 < x < \frac{n}{12} \pi$에서 방정식 $\sin ^{2} \left( 4 x \right) - 1 = 0$의 실근의 개수가 $33$이기 위해 $\displaystyle 8 \pi < x < \frac{n}{12} \pi$에서 함수 $y = \sin 4 x$의 그래프가 두 직선 $y = 1 , y = \mathit{-} 1$과 만나는 점의 개수가 각각 $1 , 0$이어야 한다.

따라서 $\displaystyle 8 \pi + \frac{\pi}{8} < \frac{n}{12} \pi \leq 8 \pi + \frac{3}{8} \pi$이고 $97.5 < n \leq 100.5$이다. 그러므로 구하는 자연수 $n$의 값은 $98 , 99 , 100$이고 합은 $297$이다.