사인·코사인 교점 삼각형

삼각함수 $y = a \sin \pi x$의 주기는 $\displaystyle \frac{2 \pi}{\pi} = 2$, 최댓값은 $a$, 최솟값은 $- a$이다. 삼각함수 $y = a \cos \pi x$의 주기는 $\displaystyle \frac{2 \pi}{\pi} = 2$, 최댓값은 $a$, 최솟값은 $- a$이다. 곡선 $y = f \left( x \right)$와 곡선 $y = g \left( x \right)$가 만나는 점의 $x$좌표는 방정식 $f \left( x \right) = g \left( x \right)$의 실근이므로 $a \sin \pi x = a \cos \pi x$, $\tan \pi x = 1$$\displaystyle \pi x = \frac{\pi}{4}$, $\displaystyle \frac{5}{4} \pi$, $\displaystyle \frac{9}{4} \pi \left( 0 \leq \pi x \leq 3 \pi \right)$ $\displaystyle x = \frac{1}{4}$, $\displaystyle \frac{5}{4}$, $\displaystyle \frac{9}{4}$ 곡선 $y = f \left( x \right)$와 곡선 $y = g \left( x \right)$가 만나는 서로 다른 세 점을 $\displaystyle \mathrm{A} \mathit{\left( \frac{1}{4} , \frac{\sqrt{2}}{2} a \right)}$, $\displaystyle \mathrm{B} \mathit{\left( \frac{5}{4} , - \frac{\sqrt{2}}{2} a \right)}$, $\displaystyle \mathrm{C} \mathit{\left( \frac{9}{4} , \frac{\sqrt{2}}{2} a \right)}$라 하고, 점 $\mathrm{B}$에서 선분 $\mathrm{AC}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{D}$라 하자.

$\displaystyle {\overline{\mathrm{AC}}} = \frac{9}{4} - \frac{1}{4} = 2$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{BD}}} = \frac{\sqrt{2}}{2} a - \left( - \frac{\sqrt{2}}{2} a \right) = \sqrt{2} a$ 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{AC}}} \times {\overline{\mathrm{BD}}} = \frac{1}{2} \times 2 \times \sqrt{2} a = 2$ $\displaystyle a = \sqrt{2}$ 따라서 $a ^{2} = 2$