사인 코사인 그래프와 삼각형

[출제의도] 삼각함수의 그래프를 활용하여 문제해결하기 $0 \leq x \leq 2 \pi$일 때, 방정식 $f \left( x \right) = g \left( x \right)$에서 $k \sin x = \cos x$ $\displaystyle \frac{\sin x}{\cos x} = \tan x = \frac{1}{k}$ $\left( \cos x \ne 0 \right)$ 그러므로 점 $\mathrm{A}$의 $x$좌표를 $\alpha$$\displaystyle \left( 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} \right)$라 하면 함수 $y = \tan x$의 주기는 $\pi$이므로 점 $\mathrm{B}$의 $x$좌표는 $\alpha + \pi$이고 두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$의 좌표는 각각 $\left( \mathit{\alpha} , \cos \alpha \right)$, $\left( \mathit{\alpha} + \pi , - \cos \alpha \right)$ 선분 $\mathrm{AB}$를 $3 : 1$로 외분하는 점 $\mathrm{C}$의 좌표는 $\displaystyle \left( \frac{3 \times \left( \alpha + \pi \right) - 1 \times \alpha}{3 - 1} , \frac{3 \times \left( - \cos \alpha \right) - 1 \times \cos \alpha}{3 - 1} \right)$ 이므로 $\displaystyle \mathrm{C} \left( \mathit{\alpha} + \frac{3}{2} \pi , - 2 \cos \alpha \right)$ 점 $\mathrm{C}$는 곡선 $y = f \left( x \right)$ 위의 점이므로 $\displaystyle - 2 \cos \alpha = k \sin \left( \alpha + \frac{3}{2} \pi \right)$ $- 2 \cos \alpha = k \times \left( - \cos \alpha \right)$에서 $k = 2$이므로 $\displaystyle \tan \alpha = \frac{1}{2}$이고, $\displaystyle \cos \alpha = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$, $\displaystyle \sin \alpha = \frac{\sqrt{5}}{5}$ $\displaystyle \cos \left( \alpha + \frac{3}{2} \pi \right) = \sin \alpha = \frac{\sqrt{5}}{5}$ 에서 점 $\mathrm{D}$의 좌표는 $\displaystyle \left( \alpha + \frac{3}{2} \pi , \frac{\sqrt{5}}{5} \right)$이고 $\displaystyle {\overline{\mathrm{CD}}} = \frac{\sqrt{5}}{5} - \left( - 2 \times \frac{2 \sqrt{5}}{5} \right) = \sqrt{5}$ 점 $\mathrm{B}$와 직선 $\mathrm{CD}$ 사이의 거리는 $\displaystyle \left( \alpha + \frac{3}{2} \pi \right) - \left( \alpha + \pi \right) = \frac{\pi}{2}$ 따라서 삼각형 $\mathrm{BCD}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times \sqrt{5} \times \frac{\pi}{2} = \frac{\sqrt{5}}{4} \pi$