사인 제곱 함수 보기

[출제의도] 삼각함수와 삼각방정식을 활용하여 추론하기 $\displaystyle f ( x ) = 2 \sin ^{2} \left( \frac{\pi}{6} x + \frac{\pi}{4} \right) = 1 - \cos \left( \frac{\pi}{3} x + \frac{\pi}{2} \right)$ $\displaystyle = 1 + \sin \frac{\pi}{3} x$ ㄱ. 함수 $f ( x )$의 주기는 $\displaystyle \frac{2 \pi}{\frac{\pi}{3}} = 6$이다. (참) ㄴ. $f \left( 1 \right) + f \left( 2 \right) + f \left( 3 \right) + \cdots + f \left( 6 \right) = 6$이고 함수 $f \left( x \right)$의 주기가 $6$이므로 $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{2012} f \left( n \right) = 6 \times 335 + \left( 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} \right) + \left( 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$ $\displaystyle = 2012 + \sqrt{3}$ (참) ㄷ. $\displaystyle f ( x ) - \cos \frac{2 \pi}{3} x = 0$ $\displaystyle 1 + \sin \frac{\pi}{3} x - \left( 1 - 2 \sin ^{2} \frac{\pi}{3} x \right) = 0$ $\displaystyle \sin \frac{\pi}{3} x \left( 1 + 2 \sin \frac{\pi}{3} x \right) = 0$ $\displaystyle \sin \frac{\pi}{3} x = 0$ 또는 $\displaystyle \sin \frac{\pi}{3} x = - \frac{1}{2}$ $0 < x < 10$에서 ⅰ) $\displaystyle \sin \frac{\pi}{3} x = 0$일 때 $x = 3$ 또는 $x = 6$ 또는 $x = 9$ ⅱ) $\displaystyle \sin \frac{\pi}{3} x = - \frac{1}{2}$일 때 $\displaystyle x = \frac{7}{2}$ 또는 $\displaystyle x = \frac{11}{2}$ 또는 $\displaystyle x = \frac{19}{2}$ 그러므로 모든 실근의 합은 $\displaystyle \frac{73}{2}$이다. (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ