사이클로이드 접선

원 $C$가 굴러간 거리가 $t$일 때, 원의 중심을 $\mathrm{C}$, 점 $( t , 3 )$을 $\mathrm{Q}$라 하면 주어진 조건에 의하여 $\angle \mathrm{POQ} = \mathit{t}$이다.

원 $x ^{2} + y ^{2} = 1$ 위를 움직이는 점 $\mathrm{P}'$에 대하여 동경 $\mathrm{OP}'$이 $x$축의 양의 방향과 이루는 각이 $\displaystyle \frac{\pi}{2} + t$일 때, 점 $\mathrm{P}$는 점 $\mathrm{P}'$을 $x$축의 방향으로 $t$만큼, $y$축의 방향으로 $2$만큼 평행이동시킨 것이다.

따라서 점 $\mathrm{P}$의 좌표를 $( x , y )$라 할 때, $\displaystyle x = \cos \left( \frac{\pi}{2} + t \right) + t = - \sin t + t$ $\displaystyle y = \sin \left( \frac{\pi}{2} + t \right) + 2 = \cos t + 2$ 이다. 따라서 원 $C$가 굴러간 거리가 $t$일 때, 곡선 $F$ 위의 점에서의 접선의 기울기는 $\displaystyle \frac{dy}{dx}$$\displaystyle = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$$\displaystyle = \frac{- \sin t}{- \cos t + 1}$이다. 따라서 구하는 값은 $\displaystyle \frac{dy}{dx}$$\displaystyle = \frac{- \sin \frac{2}{3} \pi}{- \cos \frac{2}{3} \pi + 1}$$\displaystyle = - \frac{\sqrt{3}}{3}$