기하공간벡터수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

사각뿔과 평면 교점

문제

좌표공간에서 다섯 개의 점 P(1,2,5)P ( 1 , 2 , 5 ), A(0,−5,0)A ( 0 , - 5 , 0 ), B(1,−1,−1)B ( 1 , - 1 , - 1 ), C(2,3,−2)C ( 2 , 3 , - 2 ), D(−2,2,0)D ( - 2 , 2 , 0 )이 꼭짓점인 사각뿔 P−ABCDP - ABCD가 있다. 평면 2x+y−z−k=02 x + y - z - k = 0가 사각뿔 P−ABCDP - ABCD와 교점을 갖기 위한 실수 kk의 범위가 a≤k≤ba \leq k \leq b일 때, b−ab - a의 값을 구하시오. [3점]

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해설

평면 α\alpha가 각 꼭짓점과 만나기 위한 kk의 값을 구하자 f(x,y,x)=2x+y−z−kf ( x , y , x ) = 2 x + y - z - k라 하면 f(P)=−k−1=0∴k=−1f ( P ) = - k - 1 = 0 \therefore k = - 1 f(A)=−k−5=0∴k=−5f ( A ) = - k - 5 = 0 \therefore k = - 5 f(B)=−k+2=0∴k=2f ( B ) = - k + 2 = 0 \therefore k = 2 f(C)=−k+9=0∴k=9f ( C ) = - k + 9 = 0 \therefore k = 9 f(D)=−k−2=0∴k=−2f ( D ) = - k - 2 = 0 \therefore k = - 2 이댜. 따라서 사각뿔 P−ABCDP - ABCD와 평면 α\alpha가 만나기 위한 kk의 범위를 구하면 −5≤k≤9- 5 \leq k \leq 9이므로 b−a=9−(−5)=14b - a = 9 - ( - 5 ) = 14이다

태그

#평면의 방정식#사각뿔

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