사각뿔대 정사영 넓이

점 $\mathrm{A}$에서 평면 $\mathrm{EFGH}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{I}$라 하자. 점 $\mathrm{I}$를 지나고 선분 $\mathrm{EF}$와 평행한 직선이 선분 $\mathrm{EH}$, $\mathrm{FG}$와 만나는 점을 각각 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$라 하자. 직각삼각형 $\mathrm{AIP}$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{AI}} = \sqrt{14}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{P I}} = 1$이므로 피타고라스 정리에 의하여 $\displaystyle \mathrm{\overline{AP}} ^{2}$$\displaystyle \mathrm{=} {\overline{AI}} ^{2} + {\overline{P I}} ^{2}$$= 14 + 1$$= 15$ $\therefore$ $\displaystyle \mathrm{\overline{AP}} = \sqrt{15}$ 사각형 $\mathrm{AEHD}$의 넓이를 $S _{1}$이라 하면 $S _{1}$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times \left( \mathrm{\overline{AD}} + \overline{EH} \right) \times \overline{AP}$ $\displaystyle = \frac{1}{2} \times \left( 4 + 6 \right) \times \sqrt{15}$$\displaystyle = 5 \sqrt{15}$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ 한편 점 $\mathrm{B}$를 지나고 선분 $\mathrm{AP}$와 평행한 직선은 선분 $\mathrm{PQ}$와 만나고 그 점을 $\mathrm{J}$라 하면 사각형 $\mathrm{AEHD}$와 평면 $\mathrm{BFGC}$가 이루는 각을 $\theta$라 할 때, $\mathrm{\angle} QBJ = \theta$이다.

삼각형 $\mathrm{BJQ}$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{BJ}} = \overline{AP} = \sqrt{15}$이고, $\displaystyle \mathrm{\overline{JQ}} = 2 \times \overline{P I}$$= 2$이므로 $\cos \theta$$\displaystyle \mathrm{=} \frac{{\overline{BJ}} ^{2} + {\overline{BQ}} ^{2} - {\overline{JQ}} ^{2}}{2 \times \overline{BJ} \times \overline{BQ}}$$\displaystyle = \frac{15 + 15 - 4}{2 \times \left( \sqrt{15} \right) \times \left( \sqrt{15} \right)}$ $\displaystyle = \frac{13}{15}$ 따라서 사각형 $\mathrm{AEHD}$를 평면 $\mathrm{BFGC}$ 위로 정사영 시킨 도형의 넓이를 $S _{2}$라 하면 ㉠에 의하여 $S _{2}$$= S _{1} \times \cos \theta$$\displaystyle = 5 \sqrt{15} \times \frac{13}{15}$$\displaystyle = \frac{13 \sqrt{15}}{3}$